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fonction exponentielle exercice
Bonjour,
Voici un nouveau exercice :
Soit f la fonction définit sur
a) Chercher f' , puis f'' la dérivée seconde de f.
b) Déduire les variations de f , puis les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe / concave
c)
- déterminer les intervalles sur lesquels F est convexe / concave
- en déduire que pour tout x >=0,
- déterminer l'équation de la tengante à la courbe de f au point d'abscisse 0
- démontrer que pour tout x >=0, F(x) <= cet que pour tout x <= 0, F(x) >= x
a) La dérivée d'une fonction du type eu est une fonction de la forme u'eu. Ce qui permet de calculer f' et f''.
Pour f''(x) j'ai décidé d'utiliser cette formule (uv)' = u'v + uv'
soit :
je ne suis pas sur du résultat ...
peut-être :
précise les limites f et la valeur maximale
simpliflie √(32)/8
Pour les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe / concave
regarde ce lien
oui lorsque f''(x) est <=0 la fonction f(x) est concave sinon convexe, c'est ce que j'ai mis non ?
pour la simplification :
excuse moi, je n'avais pas vu ton message de 17:39
pas des parenthèses mets des crochets pour les intervalles
√2/2 OkK
Très bien merci !
pour les parenthèse, il y a une importance ouvert ou non ?
je vais faire une pause et je terminerai l'exercice demain matin
merci pour votre aide
si f est deux fois dérivable, les points où la dérivée seconde f'' de f s'annule en changeant de signe sont des points d'inflexion.
la tangente traverse la courbe
je mets des crochets ouverts et je précise les points d'inflexion
déterminer les intervalles sur lesquels F est convexe / concave
inutile de déterminer de F
relie le lien que je t'ai indiqué
Bonjour,
j'ai bien lu le lien sur les cours concernant la convexité et j'ai bien compris les différents cas.
Par contre je suis bloqué pour les deux questions de C .....
Pouvez-vous m'aider ?
merci
honnêtement je ne fais pas de rapprochement, pour moi le cours est clair j'ai compris et les premières questions en témoignent je le pense.
Le problème c'est que je ne comprends pas ce que je dois faire la, la propriété de la 3)a) évoque la définition de la dérivée seconde.
la fonction f est la dérivée de F
la fonction f' est la dérivée seconde de F quel est son signe ? voir ton tableau
Ok ... j'ai compris en effet j'ai mal lu la question des le départ je pense,
donc réponse :
étant donné que f(x) est la dérivée de F et que f'(x) est la dérivée seconde de F, par lecture du tableau de signe et variation, on en déduis que F(x) est convexe sur l'intervalle )-infini ; 0( et concave sur l'intervalle ) 0 ; +infini (
cela vous paraît-il cohérent ?
par contre je n'ai aucune idée de comment répondre a cette question :
- en déduire que pour tout x >=0,
\int_{0}^{x/2}{e^-t2} dt >= \frac{1}{2}\int_{0}^{x}{e^-t2}dt
Pour cette question :
-" déterminer l'équation de la tengante à la courbe de f au point d'abscisse 0 "
j'ai trouvé cela :
y = f'(0) (x-1) + f(0)
y = 1
hello,
oui ta conclusion sur la convexité et concavité de F est juste.
Et désolé, c'était le point 3)b) et non 3)a) à appliquer.
Pour la question suivante, je ne vois pas vraiment le lien avec la question précédente.
Et je ne vois pas de solution immédiate.
Une solution serait de diviser l'intégrale de f en 2 partie, une de 0 à x/2 et l'autre de x/2 à x.
Ensuite si tu considères g:t -> f(t-x/2) sur I=[x/2;x]
sur cet intervalle tu as g>= f >=0 car f est décroissante et positive.
Donc g intégré sur I est supérieur à f intégré sur I
Et avec un changement de variable g intégré sur I est égal à f intégré sur [0;x/2]
Tu obtiens alors l'égalité voulu.
Mais je suppose qu'il y a plus simple...
Pour l'équation de la tangente en x=0, la formule de départ est incorrecte. Mais tu retombes quand même sur tes pattes 
Si f est définie et dérivable en x0, quel est l'équation générale de sa tangente en x0?
et bien pour moi la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse "a" est :
y = f'(a)(x-a)+f(a)
Pour cette question :
-" déterminer l'équation de la tengante à la courbe de f au point d'abscisse 0 "
j'ai trouvé cela :
y = f'(0) (x-1) + f(0)
y = 1
parfais, désolé j'ai mal recopié la première formule.
Pour la dernière question une idée ? merci je vais couper je reprends demain matin
L'exercice est presque terminé. Il suffit pour la dernière question d appliquer la définition 1) du cours qui a été donné en lien.
Par contre si quelqu'un a une autre méthode pour résoudre l'inégalité de la question c) je suis preneur.
Bonjour,
j'ai relu encore et encore la fiche de cours mais je ne vois pas comment je peux justifier la dernière question avec cela ?
la définition me dit que une fonction f dérivable sur un intervalle est CONVEXE si sa représentation graphique est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes
et inversement CONCAVE si ...... situé en dessous de chacune de ses tangentes
Mais je n'est pas de réprésentation de F
y=g'(x0)(x-x0)+g(x0), c'est du cours plus souvent présenté pour f, dérivable en a, avec y=f'(a)(x-a)+f(a)!
Pas de problème pour prendre f et a ; )
g c'était pour éviter les confusions avec f de l exercice.
Du coup avec ta formule, tu peux écrire la tangente à F en un point a.
Suivant la valeur de a, si F est concave ou convexe, tu sauras si F est au dessus ou en dessous de la tangente.
désolé je suis en reprise d'étude et la clairement je ne vois pas de solution ni de logique à adopter ..
Pour F, sa dérivé est f.
Donc si on défini la fonction "tangente" en "a" T.
On a donc en appliquant ta formule :
T(x)=f(a)*(x-a)+F(a)
Soit encore,
T(x)=e^(-a^2)*(x-a)+F(a)
Par contre, calculer F(a) peut être compliqué.
Il y a cependant un point ou F(a) est évident.
Le vois tu ?
non absoulement pas, car c'est trop flou pour moi étant donné que je n'ai jamais tracé F(x) je n'arrive pas à me projeter
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