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fonction exponentielle le modèle de Malthus

Posté par
klet
25-04-23 à 23:42

** image supprimée ** Bonsoir, alors voilà je rencontre un problème dans la résolution, j'ai réussi la première partie (A) mais pas la deuxième (B) car je ne comprends pas exactement ce que la première question demande de faire. Donc si quelqu'un pourrait m'expliquer ce serait sympa, merci d'avance à ceux qui prendront le temps de traiter le sujet.

recherches :

P'(0)=0,1* 1000=100
P(t) = 1000* exp 0,1*t

Posté par
malou Webmaster
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 08:02

Bonjour

merci de lire :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



et en réponse à mon message, de recopier les premières lignes de ton sujet avant de mettre l'image

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 10:45

Partie A : modèle discret
Pour tout entier naturel n, on appelle Pn l'effectif de la population à l'année n. D'après l'hypothèse sur l'accroissement de la population il existe un réel k > -1, dépendant des taux de mortalité et de natalité telle que, pour tout n € N : Pn+1 - Pn = kPn
1) a) justifier que la suite Pn est géométrique
b) En déduire l'expression de Pn en fonction de n, k et Po
2) indiquer le sens de variation de la suite (Pn) en fonction de k
3) on suppose que la population initiale est de 1000 individus et k =0,1
a) déterminer la population au bout de 10 ans
b) déterminer le nombre d'année nécessaire pour que la population double.  
* cette partie est déjà faite je la mets afin qu'il y ait l'énoncé complet.

Partie B :le modèle continu
On appelle maintenant P(t) l'effectif de la population à l'instant t € [0;+infini[
On suppose que la fonction P est dérivable et positive sur l'intervalle [0;+infini[.
D'après l'hypothèse sur l'accroissement de la population, il existe un réel k > 0 telle que : P'(t) = kP(t).
1) Montrer que la fonction t -> P0e kt répond au problème.
2) quel est le sens de variation de P suivant les valeurs de k.
3) on se place dans le cas où k=0,1 et d'une population initiale de 1000 individus,
a) calculer la population au bout de 10 ans et comparer cette valeur avec le modèle discret.
b)On appelle temps de doublement le temps A au bout duquel la population a doublé par rapport à la population initiale. A l'aide d'un programme sur votre calculatrice déterminé une valeur approchée à 10-2 de A

voilà j'espère que ce format convient et que je n'ai pas perdu mon temps.

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 10:51

Bonjour

Qu'avez-vous effectué ?
Quels sont vos problèmes ?

Suite géométrique ?

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 10:59

À la première question de la partie B  on vous demande de vérifier que
la fonction P définie par P(t)=P_0\text{e}^{kt}
vérifie la relation P'(t)=kP(t)

Dérivez P

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:05

je l'ai fais pour t = 0
P'(t) = 100*ekt
et kP(t) = 0,1*1000 = 100

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:20

Dans la première question  B-1) il n'est pas question de valeurs particulières.

Vous avez bien vu la dérivée de  \text{e}^{kx}

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:26

oui oui on l'a vu

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:34

Quelle est donc la dérivée de P_0\text{e}^{kt} ?

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:36

p'(0)kekt

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:43

Je pense que vous faites erreur,  P_0 est la population initiale, c'est donc une constante.

On a donc P'(t)= k \times P_0\text{e}^{kt}.

Conclusion

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:47

ah oui c'est vrai merci beuacoup

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 11:53

La fonction P : t\mapsto P_0\text{e}^{kt} répond donc à la question.

variations ?

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 13:23

toujours croissante non ?

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 13:44

si 0<k<1 décroissante
si k>1 croissante

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 13:51

Pourquoi cela ?  Ne confondez-vous pas avec le sens de variation d'une suite géométrique de raison k ?

  Pour tout  t\in[0~;~+\infty[ ,\ P'(t) >0

La première réponse était la bonne.

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:00

ah d'accord merci oui j'ai confondu

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:03

Application numérique  ?

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:19

je viens d'essayer je ne trouve pas comment faire j'ai essayer de remplacer k et P0 mais je trouve 10 je ne pense pas que ce soit la bonne réponse

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:25

P(t)=P_0\times \text{e}^{kt}

Que vaut P(10) sachant que P_0=1000,\ k=0,1,\ t=10 ?

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:28

1000e

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:37

Certes, mais on va peut-être donner une valeur approchée  2718
pour comparer avec la partie A

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:45

Oui d'accord merci vous aurez des conseils pour le programme aussi ?

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:49

Quel langage ?

calculatrice, laquelle ?  Python non

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 14:56

Calculatrice oui TI 83

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 15:31

J'ai un problème pour l'instant, il ne me donne pas la bonne réponse  

On cherche t tel que \text{e}^{0,1t}=2

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 15:56

1 sto A   Population initiale
6.5 sto T  on commence à 6 ans et demi pour raccourcir le temps de calcul
                 vous pouvez bien sûr commencer à 1
tant que A<2  début de  la boucle
e^(0.1*T) sto A  nouvelle population à l'instant T
T+0.01 sto T  on augmente la durée d'un centième puisque l'on veut le résultat à cette précision
end fin de la boucle
Disp T  on affiche la durée
    

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 19:48

D'accord merci beaucoup pour votre aide

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 20:08

Combien avez-vous trouvé ? \approx 6,93 ?

De rien

Posté par
klet
re : fonction exponentielle le modèle de Malthus 26-04-23 à 20:09

Oui c'est ça



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