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Fonction exponentielle-Logarithme

Posté par
zartos
23-03-17 à 23:56

Salut,

Je n'arrive pas à répondre à la question II)1)c) de la partie 2 de cet exercice :

Partie 1:

Dans cette partie, n désigne un entuer naturel supérieur ou égal à 3.
On considère la fonction g_n définie sur R_{+}^{*} par: g_{n}(x) = nx + 2lnx.

1. Dresser le tableau de variation de g_n

2. Montrer que pour tout x \in R_{+}^{*}, on a \sqr{x} > lnx

3. a) Montrer que l'équation g_{n}(x)=0 admet dansR_{+}^{*} une unique solution \alpha_{n}, puis montrer que\dfrac{1}{n} \le \alpha_{n} \le \dfrac{1}{\sqr{n}}

b) En déduire que \lim_{n \rightarrow +\infty} \alpha_{n} = 0

Partie 2:

I) Soit f la fonction définie surR_{+} par f(x) = \sqrt[3]{x}  e^{-x}

1. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0.

2  Calculer la limite en +\infty de f.

3  a) Montrer que pour tout x de R_{+}^{*}, on a f'(x) = (\dfrac{1-3x}{3x})f(x)

b) Dresser le tableau de variation de f.

4. Tracer C_{f} dans un repère orthonormé. On prendra f(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{1}{2}

II) On pose J= [ \dfrac{1}{3} , 1 ]

1. a) Montrer que f(J) J.

b) A l'aide de la question 3.a) montrer que \mid f'(x) \mid \le \dfrac{2}{3}

c) Montrer que [ x = \alpha_{3} ( x>0 et  f(x)=x) ], où \alpha_{3} est la solution de l'équation g_{3}(x)=0

Merci d'avance

Posté par
issanui
re : Fonction exponentielle-Logarithme 24-03-17 à 07:43

Bonjour,
x>0 si non il ne peux pas être solution de l'équation.
g(\alpha 3)=0 \Leftrightarrow 3\alpha 3+2ln\alpha 3=0
\Leftrightarrow \alpha 3=-\frac{2}{3}ln\alpha 3
f(\alpha 3)=(\alpha 3)^\frac{1}{3}×(e^l^n^\alpha ^3)^\frac{2}{3}
e^l^n^\alpha ^3=\alpha 3
f(\alpha 3)=(\alpha 3)^\frac{1}{3}×(\alpha 3)^\frac{2}{3}=(\alpha 3)^\frac{1}{3}^+^\frac{2}{3}
f(\alpha 3)=\alpha 3



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