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fonction exponentielle . primitive
J'aimerais que vous me veniez en aide pour cet exercice, merci
beaucoup .
Soit f la fonction numérique f définie sur R par :
f(x) = ( x+2) e -x
( le -x est en exposant ) .
On désigne par C la courbe représentative de f . On ne demande pas de
construire C .
1.Déterminez la limite de f en - l'infini .
2.Déterminez la limite de f en + l'infini .
Comment se traduit graphiquement ce résultat ?
On rappelle que la limite en + l'infini de
ex ( x est en exposant ) / x
est égale à + l'infini .
3.Etablissez que pour tout x réel :
f '(x) = - (x+1)e -x
( -x est en exposant ).
Déduisez-en le signe de f '(x) , puis le tableau de variation de la fonction
f .
4.Démontrez que l'équation f(x) = 2 a deux solutions distinctes sur l'intervalle
[ -2 , 4 ] et donnez une valeur approchée à 10 -2 ( -2 est en exposant
) près de celles-ci .
5.Soit g la fonction définie sur R par :
g (x) = ( ax+b) e -x ( -x est en exposant )
Déterminez les réels a et b pour que g soit une primitive de f .
Juste pour dire que l'exposent ça s'écrit avec le Alt Gr+9
soit e^-x encore mieux au niveau présentation pour pas d'ambiguité
e^(-x + 3) ou e^(-x)
voili
pour la 1/ et la 2/ utilise la "méthode des signes" -inf x +inf
= -inf
parce que f(x) est un produit. sinon pour e^x tu connais la courbe représentative
donc à l'aide d'un miroir tu auras e^(-x).
3/ on te demande de confirmer que la dérivé de f'(x) est bien
celle marqué dans l'énoncé donc calcule là de ton côté (uv)'=
....
4/ résoudre f(x)=2
5/ cherche la primitive de f(x) et tu procède par identification.
bon voilà c'est rapidement répondu.
cherche un peu sinon repose moi la question
1)
lim(x-> -oo) f(x) = -oo * oo = -oo
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2)
lim(x-> +oo) f(x) = 0
-> la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe
représentant f(x) du coté des x positifs.
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3)
f '(x) = e^(-x) - (x + 2).e^(-x)
f '(x) = -(x + 1).e^(-x)
Comme e^(-x) eqt > 0 quel que soit x, f '(x) a le signe de -(x + 1)
f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1
f '(x) < 0 pour x dans ]-1 ; oo[ -> f(x) est décroissante.
Il y a un maximum de f(x) pour x = -1, ce max vaut f(-1) = e
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4)
f(x) = 2 si:
(x+2).e^(-x) = 2
h(x) = (x+2).e^(-x) - 2
h(x) = f(x) - 2
h'(x) = f'(x)
->
Pour x dans ]-oo ; -1[ -> h(x) est croissante.
Pour x dans ]-1 ; oo[ -> h(x) est décroissante.
-> Il y a un maximum de h(x) pour x = -1, ce max vaut h(-1) = e - 2
> 0
lim(x-> -oo) h(x) = -oo
lim(x-> +oo) h(x) = -2
Il y a donc une valeur de x dans ]-oo ; -1[ et une autre dans ]-1 ;
oo[ pour lesquelles on a f(x) = 2
h(-2) = -2 < 0
h(4) = 6.e^-4 - 2 < 0
et le max de h(x) est > 0 pour x = -1 qui est dans ]-2 ; 4[
->
les 2 valeurs de x pour lesquelles f(x) = 2 sont dans [-2 ; 4]
Une des 2 valeurs est x = 0, l'autre s'obtient par exemple
par approximations successives, on trouve que cette valeur est -1,59
à moins de 0,01 près.
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5)
g(x) = (ax+b).e^(-x)
g '(x) = a.e^(-x) - (ax+b).e^(-x)
g '(x) = (-ax+a-b).e^(-x)
qu'il faut identifier avec: f(x) = (x+2)^e(-x)
-> a = -1
et a - b = 2
-> b = -3
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Sauf distraction. 
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