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fonction exponentielle3
Bonjour
Énoncé
Soit la fonction définie par :
f(x)=
1/on considéré la fonction g définie sur R par g(x)=e^x-x-1
a/étudier le sens de variation de g.calculer g(0).
b/en déduire que l expression e^x/(e^x-x) est définie pour tout réel x.
On considéré alors la fonction f définie sur R par f(x)=e^x/(e^x-x)
2°/a.vérifier que, pour tout réel x, f(x)>0
b/déterminer la limite de f en -infini
3/a/montre que,pour tout réel, f(x)=1/(1-xe^-x)
b/en déduire la limite de f en + infini
4/déterminer la dérivée f' de f et étudier les variations de f
5/représenter graphiquement la fonction f dans un repéré orthonormé (unité graphique : 2cm)
Réponse
Question 1a
g'(x)=e^x-1
e^x-1=0
e^x=1
x=0
Pour x appartenant]-infini,0[, g'(x)<0,donc g est strictement décroissant
Pour x appartenant ]0,+infini[,g'(x)>0,donc g est strictement croissant.
Calculer g(0)
g(0)=e^0-0-1
g(0)=0
Question 1b
J ai besoin d aider
g(0) sur IR, donc g(x)
0En vous servant de la question précédente. Vous avez montré que le dénominateur n'était jamais nul car supérieur à 1. Qu'en est-il du numérateur ?
Question 4
f'(x)=(e^x-x)/(e^x-x)^2
f'(x)=e^x/(e^x-x)^2*(1-x)
Pour x appartenant R ,e^x/(e^x-x)>0,le signe de f'(x) est donc du signe 1-x
Pour x appartenant]-infini,1[,f'(x)>0
Donc f est strictement croissant
Pour x appartenant] 1,+infini[,f'(x)<0.
Donc f est strictement décroissant.
Question 5
J ai besoin d aider
Question 4
f'(x)=(e^x-x)/(e^x-x)^2 --> non
f'(x)=e^x/(e^x-x)^2*(1-x) --> oui
Pour x appartenant R ,e^x/(e^x-x)>0,le signe de f'(x) est donc du signe 1-x
Pour x appartenant]-infini,1[,f'(x)>0
Donc f est strictement croissant
Pour x appartenant] 1,+infini[,f'(x)<0.
Donc f est strictement décroissant.
OK.
Pour la représentation graphique, calcule quelques termes...
Commence par regarder ce que ça donne à la calculatrice, ou sur un logiciel graphique
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