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fonction exponnentiel

Posté par prisi (invité) 10-03-05 à 17:53

bjr,pourriez vous m"aider svp?
on considère la fonction numérique f définie sur [0; par f(x)= x+2(ex-1)/(ex+1) on note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unité graphique: 2cm).

1)Justifier que f(x)= x+2-(4/ex+1) puis déterminer la limite de f en plus l'infini.

2)montrer que la droite d'équation y=x+2 est asymptote à la courbe C en plus l'infini.
Etudier la position de C par rapport à D.

3)on désigne par M le point de la courbe C d'abscisse x et N le point de D de même abscisse de x.
La distance entre les points M et N est alors le nombre MN=(4/ex+1). Résoudre l'inéquation MN<10-1.


MERCI

Posté par
dad97 Correcteurre : fonction exponnentiel 10-03-05 à 18:13

Bonsoir prisi,

première remarque : heureusement qu'il y a les questions pour comprendre l'expression de ta fonction (oui il manque deux trois parenthèses).

1) Mise au dénominateur commun et constate que l'on obtient bien l'expression de f donnée dans l'énoncé.

2) Il faut que tu montre que \lim_{x\to +\infty}[f(x)-(x+2)] existe et tend vers 0.

Pour l'étude de la position relative de la courbe et de l'asymptote il faut que tu détermine le signe de f(x)-(x+2)

3) N'y aurait-il pas un problème dans ton inéquation tu as écris 10-1 pourquoi ne pas avoir écris directement 9

Salut

Posté par
Nightmarere : fonction exponnentiel 10-03-05 à 18:18

Bonjour

f(x)=x+\frac{2e^{x}-2}{e^{x}+1}
<=>
f(x)=x+\frac{2e^{x}+2-4}{e^{x}+1}
<=>
f(x)=x+\frac{2(e^{x}+1)-4}{e^{x}+1}
<=>
f(x)=x+2-\frac{4}{e^{x}+1}

2)\rm [f(x)-(x+2)]=-\frac{4}{e^{x}+1}\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} 0

Donc y=x+2 est bien asymptote à C en +\infty

On voit bien que quelque soit x strictement positif, -\frac{4}{e^{x}+1} est strictement négatif donc f(x)\le x+2

Cf se situe donc en dessous de y=x+2

3) On a M(x;f(x)) et N(x;x+2)

On a :
MN=\sqrt{(x+2-f(x))^{2}+(x-x)^{2}}
soit
MN=|x+2-f(x)|
soit
MN=\|\frac{4}{e^{x}+1}\|=\frac{4}{e^{x}+1}


jord

Posté par
Nightmarere : fonction exponnentiel 10-03-05 à 18:18

Oups , salut Dad97


Jord

Posté par slybar (invité)re : fonction exponnentiel 10-03-05 à 18:19

Bonjour,

1)
f(x)=x+\frac{2(e^x-1}{e^x+1}=x+\frac{2e^x-2}{e^x+1}
f(x)=x+\frac{2-4+2e^x}{e^x+1}=x+\frac{2(e^x+1)-4}{e^x+1}
f(x)=x+2-\frac4{e^x+1}

\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} x+2-\frac4{e^x+1}

\lim_{x\to +\infty} -\frac4{e^x+1}=0
\lim_{x\to +\infty} x+2=+\infty
donc \lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty

2)

Si \lim_{x\to +\infty} f(x)-(ax+b)=0(ou \lim_{x\to -\infty} f(x)-(ax+b)=0, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de f en +\infty (ou en -\infty).


f(x)-(x+2)=x+2-\frac4{e^x+1}-x-2=-\frac4{e^x+1}

donc \lim_{x\to +\infty} f(x)-(x+2)=\lim_{x\to +\infty} -\frac4{e^x+1}

or \lim_{x\to +\infty} e^x+1=+\infty

donc \lim_{x\to +\infty} f(x)-(x+2)=\lim_{x\to +\infty} -\frac4{e^x+1}=0

donc y=x+2 est asymptote oblique à C en +\infty


Sur [0;+\infty[ e^x+1>0 donc f(x)-(x+2)<0 donc C est au dessous de D sur [0;+\infty[

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : fonction exponnentiel 10-03-05 à 18:23

Salut dad97

Je peux probablement répondre à ton interrogation sur la question 3, c'est: MN < 10^{-1}



Posté par prisi (invité)re : fonction exponnentiel 11-03-05 à 18:36

merci bcp atous vous mavé été dune grande aide!!!

Posté par
Nightmarere : fonction exponnentiel 11-03-05 à 19:00

De rien

Posté par prisi (invité)derivés 20-03-05 à 15:38

bjr a tous,pourriez vous m'aidez svp?

soit la fonction f(x)=x+2(ex-1)/(ex+1)
1)Calculer f'(x) puis dresser le tableau de variation de f sur [0;+.

2)Démontrer que l'équation f(x)=1 admet dans l'intervalle [0;1] une solution unique x0 dont on déterminera un encadrement à 10-1 près.

merci

*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmasterre : fonction exponnentiel 20-03-05 à 15:45

Merci de poster toutes les questions ayant rapport avec tn exercice dans un même topic

Posté par
Nightmarere : 20-03-05 à 15:46

Bonjour

1)En écrivant :
f(x)=x+2\times\frac{e^{x}+1-2}{e^{x}+1}=x+2-\frac{4}{e^{x}+1}
on en déduit :
f'(x)=1+\frac{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}
qui est strictement positif sur \mathbb{R}^{+}

2) notons g(x)=f(x)-1 .
g(x)=x+1-\frac{4}{e^{x}+1}
donc
g'(x)=1+\frac{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}
strictement positif pour tout x de [0;1]

de plus , g(0)=1-\frac{4}{2}=-1
et
g(1)=1+1-\frac{4}{e+1}\approx 0,9

On en déduit que f est une bijection de [0;1] dans [-1;0,9] . 0 est élément de [-1;0,9] donc admet un unique antécédent x_{0} par f dans [0;1] .
Pour l'encadrement , tu peux utiliser la dichotomie ou la calculette pour les parresseux , à toi de voir .


Jord

*** message déplacé ***


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