Bonjour,
Je sèche sur un exercice :
Soit E un -EV. Soit a.
On dit que f:E\{0} est positivement homogène de degrès a si t>0, xE\{0}, f(tx)=t^af(x)
On pose H_a l'ensemble de ces fonctions
Soit ||.|| une norme sur R
Je dois montrer que fH_a xE\{0}, f(x)=||x||^af(x/||x||).
Ensuite je dois montrer l'équivalence :  fH_a
f est continue sur E\{0} f_|S(0,1) est continue
Tout ces ensembles sont munis de la distance issue de ||.||
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Pour la première question, je suppose  fH_a, et donc je peux affirmer par définition que t>0, xE\{0}, f(tx)=t^af(x)

Soit x dans E\{0}
f(x)=f(||x||x/||x||)= ||x||^a .f(x/||x||) car f est dans H_a et la norme de x est >0 car une norme est 0 et la norme de 0 est la seule norme nulle et on suppose x non nul.
C'est tout ?

Pour la seconde question, j'imagine que c'est par double implication, mais je bloque dans le sens réciproque et je ne suis pas sur du sens direct. Je vais essayer :
directe :
je suppose que  fH_a est continue sur E\{0}.
Alors en particulier f est continue sur S(0,1). Ca suffit aussi ?
réciproque :
Je suppose que f_|S(0,1) est continue et je dois montrer que f est continue sur E\{0}. Soit yS(0,1).
Donc >0, A>0 tel que xS(0,1) : ||x-y||<A ||f(x)-f(y)||<

Je sens bien qu'on va devoir utiliser le fait que E est un -EV, mais je ne vois pas trop ce que je dois faire.

Merci