Niveau autre

fonction homographique

Posté par
antares 19-02-15 à 23:35

Bonjour tout le monde,

Pour commencer, je tiens à préciser que je ne pose pas la question qui va suivre pour un devoir à rendre ou autre, j'ai 39 ans et je me suis simplement remis aux maths quand je suis tombé, dans une librairie, sur un livre intitulé "tout ce que vous avez appris et oublié en Maths !" et je me suis dit pourquoi pas .
Ce livre est pas mal mais ne donne, dans la partie correction, que le résultat attendu. C'est donc des fois un peu compliqué quand on s'y remet quelques 20 ans après.

Voici un exercice pour lequel je n'arrive pas au même résultat que la correction tout en ne voyant pas ou se situe mon erreur.

Nous avons une fonctions f(x) et je dois trouver pour quelles valeurs de x est vérifiée la double inégalité -1 $\le$ f(x) $\le$ 1

f(x) = (2-x)/(2x-1).

D'abord je pose (2-x)/(2x-1) $\ge$ -1 $\Longrightarrow$ 2-x $\ge$ -2x+1 $\Longrightarrow$ x $\ge$ -1

Ensuite je pose (2-x)/(2x-1) $\le$ 1 $\Longrightarrow$ 2-x $\le$ 2x-1 $\Longrightarrow$ -3x $\ge$ -3 $\Longrightarrow$ 3x $\le$ 3 $\Longrightarrow$ x $\ge$ 1

Malheureusement j'ai un bon résultat sur 2 à savoir x $\ge$ 1.
Par contre, je ne ne comprends pas pourquoi d'un point de vue purement calculatoire l'autre résultat doît être x $\le$ -1 et non x $\ge$ -1. Par contre je comprend bien la représentation du bon résultat.
J'ai du oublié une petite régle sur les inéquations....

Si une bonne âme pouvait m'aider à comprendre mon erreur..
Merci d'avance.

Fabien.

Posté par re : fonction homographique 19-02-15 à 23:38

Bonsoir,

Quand 2x-1 est < 0, la multiplication par 2x-1 change le sens de l'inégalité.

Posté par re : fonction homographique 19-02-15 à 23:44

Salut Fabien

Ton erreur vient du fait que lorsque tu manipule les inéquation il faut faire très attention aux signes des expressions que tu multiplie.

Je m'explique

$\dfrac{2-x}{2x-1} \geq -1$ on pourrait se dire "Hop on multiplie des deux cotés et le tour est joué" sauf que non car le signe de 2x-1 n'est pas toujours positif selon les valeurs de x

Posté par re : fonction homographique 19-02-15 à 23:45

Donc pour résoudre les deux inéquations il faut passer tout d'un coté, mettre sur le même dénominateur et faire un tableau de signe

Posté par re : fonction homographique 19-02-15 à 23:56

Bonsoir

$-1\leqslant \dfrac{2-x}{2x-1}\iff \dfrac{2-x}{2x-1}+1\geqslant 0\iff \dfrac{x+1}{2x-1}\geqslant 0$

après un tableau de signes on a pour ensemble solution   $]-\infty~;~-1]\cup]\frac{1}{2}~;~+\infty[$

$\dfrac{2-x}{2x-1}\leqslant 1\iff \dfrac{2-x}{2x-1}-1\leqslant 0\iff \dfrac{-3x+3}{2x-1}\leqslant 0$

après un tableau de signes on a pour ensemble solution   $]-\infty~;~\frac{1}{2}[\cup[1~;~+\infty[$

pour l'ensemble solution  on prend l'intersection des deux ensembles précédents   $]-\infty~;~-1]\cup[1~;~+\infty[$

Posté par re : fonction homographique 20-02-15 à 00:17

Merci à tous. Je ne pensais pas avoir des retours aussi rapides En tout cas ça va me permettre d'avancer dans les exercices car j'ai tout compris maintenant.
Bonne nuit /

Posté par re : fonction homographique 20-02-15 à 00:24

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