Niveau Préparation CRPE

Fonction homographique

Posté par
bouchaib 12-07-24 à 01:11

Bonsoir,
  Une activité  mathématique où on demande de déterminer la forme générale du taux de variation d'une fonction homographique sous sa forme générale canonique,

$T= \frac{h(x)-h(x')}{x-x'}$ ,

La forme canonique de h(x) est :

$h(x)=\beta +\frac{\gamma}{x-\alpha}$ ,    avec  :

   $\alpha =-d/c             \beta =a/c.           \\ \\ \gamma = - \frac{(a.d-b.c)}{c^{2}}$ .

$\Delta = a. d -b.c$

Dans le livre :

$T=\frac{h(x)-h(x')}{x-x'}= \frac{\Delta}{(x-a).(x'-a)}$

Moi je trouve :

     $T= \frac{\Delta}{(c.x+d).(c.x'+d)}$ .

  Merci de m'indiquer mon erreur .

Posté par re : Fonction homographique 12-07-24 à 08:56

Bonjour,

Il y a une coquille dans le livre.

Posté par re : Fonction homographique 12-07-24 à 10:36

Merci.
Sinon on peut laisser l'expression de T sous sa forme initiale  pour l'étude de la monotonie de h ( sans passer par la dérivée),

   $T= \frac{(\Delta )}{c^{2}.(x-\alpha).(x'-\alpha)}$

  Ainsi on peut étudier la monotonie de h sur :

     $]-\infty ; \alpha[$     et   $]\alpha ; +\infty[$ .
Et  donc le signe de   $\Delta$ qui détermine le signe de T selon l'un ou l'autre intervalle ci-dessus.
Le dénominateur est toujours positif .
Merci par avance.

Posté par re : Fonction homographique 12-07-24 à 11:14

Oui on peut en déduire le sens de variation de h sur chacun des intervalles, étant entendu qu'elle n'est pas définie pour pour x=.
On peut aussi en déduire la valeur de la dérivée au point d'abscisse x, en passant à la limite.