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Fonction homographique du plan complexe

Posté par
seif25 16-02-20 à 19:49

Bonsoir,

Je suis bloqué sur une question de cet exercice :

On note \Omega l'ensemble \mathbb{C}\backslash \left\{ 1,i \right\} et on considère l'application f:\Omega \to \mathbb{C} définie par :

f(z)=\frac{z+i}{z-i}

J'ai répondu à plusieurs questions à savoir :

-J'ai trouvé les points fixe f(z)=z :  \alpha =\frac{1+\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}   et     \beta =\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1-\sqrt{3}}{2}

-Et que :   \frac{\beta -i}{\alpha -i}={{j}^{2}}    avec    j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

-J'ai montré que :    \frac{f(z)-\alpha }{f(z)-\beta }={{j}^{2}}\frac{z-\alpha }{z-\beta }

-Après on considère la médiatrice  \Delta  de  \left[ \alpha ,\beta\right]

J'ai montré que  f\left( \Delta \cap \Omega  \right)=\Delta \cap \Omega  et que i  et  1   appartiennent à  \Delta

Je vous remercie d'avance.

-J'ai montré que si  z\in \Delta \cap \Omega  alors :  \arg (z-\alpha )+\arg (z-\beta )\equiv 2\arg (z-i)\left[ 2\pi \right]

-Je suis bloqué maintenant sur cette question :

Déduire que si  z\in \Delta \cap \Omega   alors :

\arg \left( f(z)-\alpha  \right)\equiv \arg (z-\alpha )+\frac{2\pi }{3}\left[ \pi \right]

et

\arg \left( f(z)-\beta  \right)\equiv \arg (z-\beta )-\frac{2\pi }{3}\left[ \pi \right]

Indication : on remarquera que comme z, f(z) et i sont alignés alors      \arg (z-i)\equiv \arg \left( f(z)-i \right)\left[ \pi \right]

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique du plan complexe 16-02-20 à 22:25

bonsoir

je prends a et b plutôt que alpha et béta

juste une idée  : une de tes relations donne

arg(f(z) - a ) - arg(f(z) - b) = 4/3 + arg(z-a)-arg(z-b) [2]


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