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Fonction indicatrice
Bonjour,
Soit . La fonction indicatrice de
, ou encore fonction caractéristique de
, est la fonction de
dans
, notée
et définie par :
et
1/ Montrer que
2/ Montrer que si possède un nombre fini d'éléments alors
Je bloque sur les 2 questions.
Bonsoir,
pour la première question on peut procéder par disjonction de cas en considérant les ensembles
je ne suis même pas certaine qu'il ait commencé à réfléchir sur la manière de montrer que deux applications sont égales .... (ie, même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et pour tout x de l'ensemble de départ, même image par les deux applications)
Ok Verdurin merci :
Si alors
et
d'où l'égalité.
Si alors :
et
Si on obtient le résultat par symétrie.
Si alors :
et
d'où l'égalité.
Mais je n'ai pas compris pourquoi on introduit le sup ici et pas le pas le Max 
Pour la 2 je ne vois pas comment démarrer...
je ne suis même pas certaine qu'il ait commencé à réfléchir sur la manière de montrer que deux applications sont égales .... (ie, même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et pour tout x de l'ensemble de départ, même image par les deux applications)
Si j'ai étudié ça dans mon livre récemment. Mais je ne suis pas habitué à manipuler la fonction indicatrice.
il aurait suffi de distinguer les deux cas : x est dans A union B, auquel cas au moins une des indicatrices de A et de B vaut 1 donc le sup vaut 1
x n'est pas dans A union B, autrement dit x n'est ni dans A, ni dans B, et donc les deux indicatrices valent 0 et leur sup aussi ...
le même que celui de chacune des deux applications dont on prend le sup
AH oui je suis bête les 2 applications sont définies sur
salut
un peu de sérieux !!
si A = {a} quelle est son indicatrice ?
si A = {a_1, a_2, ..., a_n} alors A = {a_1} U {a_2} U ... U {a_n}
...
Je n'ai pas compris, l'ensemble d'arrivée de
en quel honneur le sup de deux quantités qui ne peuvent prendre que les valeurs 0 et 1 donnerait 0 ou 2 ??
c'est incroyable, il confond sup et somme ? et il prétend avoir compris la question ?
et le cas particulier où x est dans A et dans B n'en est pas un : quand deux quantités peuvent prendre les valeurs 0 ou 1 à l'exclusion de toute autre valeur, il faut et suffit qu'au moins une des deux prenne la valeur 1 pour que la plus grande des deux soit égale à 1 .
@ramanujan, pour la question 2. tu peux faire comme cela.
Tu désignes par n le cardinal de E et p le cardinal de A. On a
Ensuite tu numérotes les éléments de E en commençant par les éléments qui sont dans A.
Ainsi et
Alors
Et pour le 1. ou 1 (de même)
ou 1
Donc pour tout x, ne peut prendre que 2 valeurs 0 ou 1.
Ensuite au lieu d'envisager les 2 cas possibles, tu peux considérer un seul cas pourvu que tu raisonnes par équivalence:
[ ]
[ ou
]
[ ou
]
[ ]
[ ]
Trivialement on a ça, où E est un ensemble et A, B deux parties de E :
Et ce pour tout .
Les deux applications sont donc égales
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