Bonjour,
pourriez-vous m'aider pour cet exercice ?
Si E est un ensemble et A une partie de E, rappelons que l'on note 1A la fonction indicatrice
de A, qui vaut 1 sur A et 0 partout ailleurs.
(a) Exprimer, en fonction de 1A et 1B, les fonctions indicatrices des parties suivantes :
, A△B, E − A.
(b) Si J est un intervalle borné, exprimer la longueur de J en fonction de 1J. On appelle cette
longueur la mesure (de Lebesgue) de J.
(c) En déduire qu'on peut définir la mesure d'une union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints (penser aux théorèmes de convergence vus en cours).
(d) Montrer qu'un ouvert borné est union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. En déduire qu'on peut définir la mesure des ouverts et des fermés bornés de R. Exprimer ces mesures comme des intégrales.
(e) Montrer directement en utilisant la définition d'ouvert, que la fonction indicatrice d'un ouvert borné de R est Lebesgue-intégrable (construire une suite croissante convergent
vers la fonction indicatrice).
(f) En examinant les théorèmes de convergence vus en cours, à quelle classe de parties de R pensez-vous que l'on puisse étendre la mesure ?
(a) ok
(b) longueur(J) =
(c) Soit une suite d'intervalles ouverts bornés disjoints. Leur borne inférieure est et supérieure .
(disjoints)
Comme l'union est dénombrable, n est fini et on a donc,
longueur
donc la mesure de l'union est définie. Ici, je n'ai pas utilisé de théorème de convergence alors que c'était indiqué alors quelque chose doit être faux...
(d) Soit U un ouvert borné par a et b. U est de la forme . Comme U est ouvert, sont aussi ouverts.
est minoré par a et est majoré par b donc sont bornés.
Comme les intervalles de la suite sont ouverts, il existe (rationnels), 0 <= k <= n tel que . On a donc construit une application injective de [0,n] dans Q (car les sont disjoints). Or Q est dénombrable donc [0,n] est dénombrable donc U s'écrit comme une union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints.
Si U est un ouvert de R,
longueur(U) =
Si F est un fermé de R, ?
(e) Je pensais poser
si , ouvert
si
Elle est bien croissante et elle converge vers la fonction
est majoré par la longueur de U donc on peut appliquer le théorème de convergence monotone et donc la fonction indicatrice est Lebesgue-intégrable.
(f) A mon avis, on doit pouvoir étendre la mesure à tout intervalle borné de R.
Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter...
Pour la d), je ne comprends pas : un ouvert n'est pas nécessairement une union finie d'intervalles.
Kaiser
Pour la d)l'ouvert est borné, je crois que c'est pour ça.
Pour la c), je crois qu'il faut que j'utilise le fait qu'un ensemble dénombrable et de mesure nulle. Donc [|0,n|] est de mesure nulle (au lieu de poser n fini) mais les théorèmes de mon cours concernent les intégrales par les séries...
PS : désolé, j'ai un peu abandonné ce poste car j'étais malade
euh, c'est vrai que j'ai remarqué que le cours sur les séries et celui sur les intégrales se ressemblent beaucoup mais jusqu'à dire que c'est la même chose, je ne sais pas : cela dépasse ce que j'ai appris. Pourrais-tu développer un petit peu ton affirmation otto ?
je ne suis pas vraiment sure de comprendre ta dernière phrase. Est-ce que tu veux dire que si la somme est faite sur un ensemble dénombrable (donc de mesure nulle) alors la somme/série est une intégrale ?
Non je veux dire que l'on change la mesure, mais si tu ne comprends pas c'est peut être que tu ne sais pas ce qu'est une mesure.
As tu vue la définition d'intégrale de Lebesgue sans aborder le concept de mesure?
Si oui, oublie mon intervention (auquel cas c'est un peu stupide aussi d'introduire la mesure de Lebesgue sans la mesure)
Merci Otto, oui en effet, j'ai vu l'intégrale de Lebesgue et on a introduit la notion d'ensemble de mesure nulle mais nous n'avons pas parlé de la mesure de Lebesgue. J'imagine que cet exercice est sensé donner une approche de cette notion.
D'après ce que je comprends, donc, n n'est pas forcément fini mais cela n'empêche pas ma somme d'être définie.
J'ai vu le théorème de convergence monotone et de convergence dominée de Lebesgue, lemme de Fatou...
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