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Fonction infernale
Bonjour à tous
J'ai trouvé ce défi en fin de chapitre d'un vieux bouquin de seconde :
Soit f une fonction de N dans N telle que pour tout n de N, f (n) > ou = à n et f (f (n))= 3n
On demande de calculer f (6)
Il me semble qu'il manque une donnée dans l'énoncé, non ?
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Bonjour,
Nous avons là un sujet très ouvert ,intéressant et stimulant.
"on réfléchissait en seconde" Certains déjà!
Peut-on expliciter f, une fonction f(n) satisfaisante?
Alain
n =< f(n) et f o f (n) = 3n
f(n) = an + b => f o f(n) = a^2n + ab + b = 3n => a^2 = 3 et b(a + 1) = 0
Bonsoir,
D'accord.
La relation f(f(n))=3n peut aussi s'écrire :f(n)=b
f(b)=3n
Ce qui permet de calculer de nombreux points:
exemple f(6)=9 ; f(9) =3*6=18 . . .
Alain
Bonjour alainpaul,
Avant de se poser cette question:
Peut-on expliciter f, une fonction f(n) satisfaisante?
il faut s'en poser d'autres auparavant:
- Une telle fonction existe-t-elle ? (tout ce que j'ai écrit au dessus présuppose qu'une telle fonction existe ce qui n'a rien d'évident.)
Je pense que oui mais ça reste à prouver.
- Si oui, est-elle unique ?
Je pense que non.
Bonjour lake,
je confirme tes affirmations.
Tout d'abord il n'a pas été fait remarquer que la définition de entraîne
. Il suffit donc de connaître les
et les
pour connaître parfaitement
.
D'autre part, pour on ne peut avoir
puisque cela entraînerait
. On en déduit
d'où
et par suite pour
:
.
Un premier exemple de fonction est donné par
d'où
. Cela entraîne
et
.
Mais ce n'est pas la seule fonction possible. On peut également imposer à une condition plus forte, qu'elle soit strictement croissante. Il y a alors une seule fonction possible donnée par la suite A3605 de l'OEIS
.
Bonjour,
Bravo Jandri!
"la définition de f entraîne f(3n)=3f(n). Il suffit donc de connaître les f(3n+1) et les f(3n+2) pour connaître parfaitement f. "
Oui,j'en était arrivé là: ainsi que le
confirme le sytéme équivalent.
Alain
Bon dimanche,
A Jandri
Je ne vois pas clairement la fonction f que tu proposes et comment l'itérer,
Alain
Il faut commencer par se convaincre que tout entier naturel non nul s'écrit de manière unique:
ou
où et
sont des entiers naturels.
Bonjour,
"une fonction f est donnée par f(3n+1)=3n+2 d'où f(3n+2)=9n+3 "
Il me faut bien réaliser ce que peut être une fonction dans N , c'est-à-dire un objet très souple et comprendre le ** d'où** ,ici pour satisfaire f(f(3n+1))=9n+3 .
Amicalement,
Alain
Bonjour,
On doit utiliser f(f( )) connue. f(3n+1)=3n+2 ,définit f ici seulement pour les congruences 1 modulo n.
f 'joue' donc différemment selon les modulos ;
voilà ce je voulais dire.
Alain
Je ne te suis pas très bien; relis pas à pas ce qu'à écrit jandri:
Dès l'instant où on écrit , la fonction
vérifiant les conditions de l'énoncé est parfaitement définie.
D'ailleurs, si tu préfères, on choisit un entier naturel quelconque (à ta guise) et on calcule son image par définie entièrement 1) par l'énoncé et 2) par
Merci, lake, de répondre à ma place aux questions d'alainpaul.
Je ne comprend pas pourquoi il parle de "congruences 1 modulo n" alors qu'il s'agit de congruences modulo 3.
Pour définir une fonction vérifiant
et
on peut poser pour tout
:
,
et
.
On a bien défini pour tout
puisqu'un entier s'écrit soit
, soit
, soit
.
Il reste à vérifier que vérifie bien
et
ce qui n'est pas difficile.
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