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Niveau seconde
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Fonction inverse - Fonctions homographiques

Posté par
sandra8888
13-05-17 à 15:07

Bonjour,
J'ai un exercice que j'ai commencé et j'aimerai savoir si je suis dans la bonne voie, merci.

Exercice :
On considère la fonction g définie sur l'expression g(x) = \frac{3x - 7}{2x - 5}.
1. Justifier que g est une fonction homographique et dire l'ensemble de définition.

Ma réponse :

g(x) = \frac{3x - 7}{2x - 5}

g(x) est de la forme \frac{ax + b}{cx + d}
avec a = 3, b = -7, c = 2 et d = -5.

c\neq 0 car c = 2
ad - bc = 3*(-5) - (-7)*2
                = (-15) - (-14)
                = -1

Donc c'est bien une fonction homographique et son ensemble de définition est 2x - 5 \neq 0, c'est-à-dire x \neq 2.5 donc ça s'écrit \ \begin{Bmatrix} 2.5 \end{Bmatrix} ou encore ]- ; 2.5[ ]2.5 ; +[.

Posté par
pgeod
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:09

c'est bon.
Dans l'énoncé de la réponse, il est préférable de mettre 5/2 au lieu de 2.5

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:18

Merci beaucoup.
J'ai une autre question qui me dit de vérifier que g(x) = 1.5 + \frac{0.5}{2x - 5} comment dois-je faire ?

Posté par
pgeod
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:30

mets  1.5 + 0.5 / (2x - 5) au même dénominateur
puis simplification du numérateur;
tu dois retrouver l'écriture de (3x-7) / (2x-5)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:32

Bonjour ,

dans toutes les questions énoncées comme "vérifier que [formule donnée dans l'énoncé]" on peut
développer chacune des deux formes et vérifier (= regarder) si ça donne la même chose
dans le sens qu'on veut (partir de l'une ou bien partir de l'autre)

ici réduire au même dénominateur la forme [2] pour obtenir une fraction unique qui devrait donc être la même que la forme [1]
ce sera bien plus simple et direct que de partir de la forme [1] pour la "triturer" jusqu'à obtenir la forme [2]

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:39

D'accord donc :

1.5 + \large \frac{0.5}{2x - 5}

= \large \frac{2x - 5 \times 1.5}{2x - 5} + \frac{0.5}{2x - 5}

= \large \frac{2x - 7.5 + 0.5}{2x - 5}

= \large \frac{2x - 7}{2x - 5}

Je n'arrive pas à trouver mon erreur car ça me donne pas g(x).

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:40

l'oubli de parenthèses est ici catastrophique !

Posté par
pgeod
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:50

deuxième ligne, c'est : (2x-5) * 1.5
et le 1.5 est à distribuer...

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:55

1.5 + \frac{0.5}{2x - 5}

= \frac{2x - 5 \times 1.5}{2x - 5} + \frac{0.5}{2x - 5}

= \frac{2x -7.5}{2x - 5} + \frac{0.5}{2x - 5}

= \frac{(2x - 7.5 + 0.5)}{2x - 5}

= \frac{2x - 7}{2x - 5}

Mais pourquoi je ne trouve pas g(x).

Posté par
pgeod
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 15:56

???

Voir posté le 13-05-17 à 15:50

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 16:13

Excusez moi je n'avais pas vu votre réponse.
Merci j'ai rectifié mon erreur et j'ai bien trouvé g(x).
J'ai une dernière question qui est d'étudier les variations de g sur l'intervalle ]- ; 2.5[.
Je sais qu'on peut le savoir via la calculatrice mais j'aimerai savoir comment on peut le savoir avec une autre méthode ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 16:20

une méthode est d'utiliser la forme 3/2 + (1/2)/(2x-5)
de proche en proche
2x - 5 est une fonction croissante de x
1/(2x-5) est une fonction comment ??
etc

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 16:28

Où vous trouvez le 3/2 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 16:53

3/2 = 1.5, c'est toi qui a choisi de l'écrire 1.5 mais c'est exactement la même chose.

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 17:12

Ah oui excusez moi, mais comment je peux savoir si une fonction est croissante ou décroissante ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 17:16

la fonction x 2x-5 est une fonction affine
son sens de variatios est dans le cours (et même celui de l'année d'avant)

la fonction inverse u 1/u est dans le cours

en combinant les deux
on obtient les variations de x 1/(2x-5)

Posté par
carpediem
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 17:27

salut

c'est bien de l'exercice de machine !!!

g est le quotient de deux fonctions affines dont le dénominateur n'est pas constant (donc ""c ="" 2  <> 0) donc g est une fonction homographique ...
2g(x) = \dfrac {6x - 14} {2x - 5} = \dfrac {3(2x - 5) + 1} {2x - 5} = 3 + \dfrac 1 {2x - 5} \iff g(x) = \dfrac 3 2 + \dfrac 1 2 \dfrac 1 {2x - 5}

un peu de finesse et de poésie et les mathématiques deviennent de l'art ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 17:41

euh ça ne suffit pas à en faire une fonction homographique
encore faut il que ça ne se réduise pas à une simple droite !!
d'où la condition supplémentaire ad-bc ≠ 0

pour la décomposition en éléments simples (sans le dire bien entendu, en première !)
ça c'est la (une) méthode si on ne donne pas le résultat dans l'énoncé

on peut aussi effectuer directement la division euclidienne du polynôme 3x-7 par 2x-5
en 3x combien de fois 2x il y va 3/2 fois
3/2 fois 2x-5 = ... que je retranche de 3x-7, reste un truc qui est le numérateur N dans
f(x) = 3/2 + N/(2x-5)

Posté par
carpediem
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 17:58

carpediem @ 13-05-2017 à 17:27

salut

c'est bien de l'exercice de machine !!!

g est le quotient de deux fonctions affines dont le dénominateur n'est pas constant (donc ""c ="" 2  <> 0) donc g est une fonction homographique ...


2g(x) = \dfrac {6x - 14} {2x - 5} = \dfrac {3(2x - 5) + 1} {2x - 5} = 3 + \dfrac 1 {2x - 5} \iff g(x) = \dfrac 3 2 + \dfrac 1 2 \dfrac 1 {2x - 5}

un peu de finesse et de poésie et les mathématiques deviennent de l'art ...

Posté par
carpediem
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:00

oui pardon ...  le numérateur n'est pas multiple du dénominateur ... quoique

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:02

faux
la fonction f(x) = (4x-10)/(2x-5) a bien un dénominateur qui n'est pas constant et ce n'est pas une fonction homographique.
(c'est presque la fonction g(x) = 2 mais pas tout à fait, c'est pour ça que j'écris deux noms différents)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:08

posts croisés

c'est vrai qu'avec la définition de Wikipedia (hum) les fonctions homographiques englobent les fonctions constantes et les fonctions affines !!
au point qu'ils se sentent obligés de préciser "une fonction homographique non constante"

ceci est justifié à un niveau supérieur, celui dans lequel on va définir des homographies du plan projectif etc ..
mais bof en lycée les fonctions homographiques ne sont ni constantes ni affines.

Posté par
carpediem
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:10

oui je chipote ...

au lycée parlons de ""vraies"" fonctions homographiques !!

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:13

Désolé mais je ne comprends plus rien, ma question était juste de comment faire un tableau des variations de g sur l'intervalle ]- ; 2.5[.

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:16

salut,
pb regle l'an prochain ce ne sera plus au programme de seconde
mais ce sera dans celui de premiere certainement
il y a gros à parier que ad-bc distinct de 0 sera dans la definition

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:19

"Désolé mais je ne comprends plus rien, ma question était juste de comment faire un tableau des variations de g"
faire comme ton prof en classe

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:24

Le problème c'est que le prof nous donne un exercice à faire nous même puis après il nous donne la leçon.

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:24

"a, b, c et d sont des éléments de K et ad - bc est non nul." dixit wikipedia

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:25

comment fais tu d'habitude pour etudier les variations ?

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:27

prendre 2 reels dans un intervalle et comparer f(a) et f(b) te dit qqchose ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 13-05-17 à 18:30

et je t'ai dit comment faire
de proche en proche à partir de f(x) = 1.5 + 0.5/(2x-5)

sur ]-oo; 2.5[
x 2x-5 est croissante (fonction affine, cours, le coefficient de x est >0)
2x-5 varie donc de -oo à 0
sur cette intervalle la fonction u = 2x-5 1/u = 1/(2x-5) varie comment en fonction de u
(cours fonction inverse) réponds.

et donc la fonction x 1/(2x-5) varie dans quel sens ?
c'est de la réflexion
que l'on peut formaliser avec :

si -oo < a < b < 2.5
alors -oo < 2a-5 < 2b-5 < 0 (traduction littérale de la fonction x 2x-5 est croissante)

quelle inégalité peut on écrire alors entre 1/(2a-5) et 1/(2b-5) ?
(cours sur la fonction inverse ou recalcul explicite pour redémontrer le cours)

et donc la fonction x 1/(2x-5) est ??
(définition de fonction croissante ou décroissante)
etc

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 14-05-17 à 17:08

Bonjour,
Je m'excuse mais je n'arrive pas à comprendre, est-ce qu'on peut reprendre du début de la question et faire étape par étape s'il vous plaît.

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 14-05-17 à 17:47

ton prof a etudie les variations de la fonction carree en classe je suppose
utilise la meme methode

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 19:27

Bonsoir,
Moi j'ai appris que si a était positif la courbe était décroissante puis croissante et si a était négatif la courbe était croissante puis décroissante. Mais est-ce que c'est ça ?

Posté par
Krayz
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 19:41

Par exemple, pour le cas de la fonction carrée définie par ax² + bx + c :

- si a > 0 : fonction décroissante puis croissante.
- si a < 0 : fonction croissante puis décroissante.

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 20:25

je parle de la fonction carree x->x^2
vous n'avez pas demontre comment variait cette fonction ?

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 20:28

Mais est-ce que c'est pareil car là c'est de la forme : ax + b/cx + d ?

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 21:00

non c'etait juste pour savoir comment fait ton prof pour etudier les variations
Soit a et b 2 reels appartenent à l'intervalle ]5/2;inf[ verifiant
a<b
2a-5<2b-5
1/(2a-5)>1/(2b-5)
etc
As tu vu ce genre de redaction ?

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 21:13

Non je n'ai pas eu ce genre de rédaction.

Posté par
alb12
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 17-05-17 à 21:35

je ne vois qu'une solution, tracer la courbe puis le tableau des variations ensuite

Posté par
sandra8888
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 18-05-17 à 19:32

Donc pour faire la courbe je dois prendre deux points pour voir comment est l'allure de la courbe ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fonction inverse - Fonctions homographiques 18-05-17 à 20:00

pourquoi deux ?
ce n'est pas une droite !!
tu dois tracer "un tas" de points et les relier à main levée par une courbe "harmonieuse" (sans angles)

plus tu prendras de points et plus le tracé sera précis
mais faut pas exagérer non plus !

une calculette peut aider pour tout ça ...
(calculette ou tableur pour avoir une table de valeurs
voire pour lui faire tracer directement la courbe)



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