Bonjour,


Soit x et y dans [a ; c],


Premier cas: x et y tous les deux dans [a ; b]
Comme f est k-lipschitzienne sur [a, b] on a :
|f(x) - f(y)| |x - y|



Second cas: x et y tous les deux dans [b ; c]
Comme f est k-lipschitzienne sur [b, c] on a :
|f(x) - f(y)| |x - y|



Troisième cas: x dans [a ; b] et y dans [b ; c]  (ou l'inverse !)
|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(b) + f(b) - f(y)|

|f(x) - f(y)| |f(x) - f(b)| + |f(b) - f(y)|

|f(x) - f(y)| |f(x) - f(b)| + |f(b) - f(y)|


Comme les deux fontions sont k-lipschitzienne sur respectivement [a, b] et [b, c]
|f(x) - f(y)| k |x - b| + k |b - y|


Comme x b,  |x - b| = b - x
Comme b y,  |b - y| = b - y
|f(x) - f(y)| k (b - x) + k (y - b)

|f(x) - f(y)| k (b - x) + k (y - b)

|f(x) - f(y)| k (y - x)


Comme x b et b y, on a: x y,
et donc |y - x| = y - x

Ainsi on a bien:  |f(x) - f(y)| k |y - x|


En conclusion
Dans tous les cas,  |f(x) - f(y)| k |y - x|

Dans le troisième cas,

lire Comme b  y,  |b - y| = y - b à la place de Comme b  y,  |b - y| = b - y

Désolé (et j'espère que le reste est correct)