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Fonction k-lipschitzienne

Posté par
Phymathi 29-04-17 à 19:12

Bonsoir a tous,
Je dois démontrer que ma fonction :
f : x2x+1/x+1
vérifie cette propriété : x [1, 2]
|f (x)-f (y)|1/4 |x-y|
J'ai donc prouvé que ma fonction était croissante sur cette intervalle la et après j'ai pensé à faire le rapport
l f (x)-f (y) / x-y | mais après comment procéder??

Posté par
carpediemre : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 19:44

salut

1/ il serait bien de connaitre les parenthèses ...

2/ f(x) - f(y) = ...

Posté par
alberto13re : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 19:52

Bonsoir,

Utilisez l'inégalité des accroissements finis, vous devriez pouvoir faire la suite.
Hésitez pas si vous avez des questions.

Posté par
lakere : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 19:55

Bonjour,

Citation :
Utilisez l'inégalité des accroissements finis


C' est un minimum!  

Posté par
Phymathire : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 20:23

Bonsoir,
Je m'excuse pour l'oubli des parenthèses je suis sur mon téléphone.
Cela dit n'y a t'il pas d'autres moyens de montrer ça sans avoir recourt au théorème des accroissement finis? (Théorème n'étant pas dans le programme officiel au lycée.. )

Posté par
lakere : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 20:48

f(x)=2-\dfrac{1}{x+1}

Calcule |f(x)-f(y)| et utilise x\in[1,2] (ainsi que y)

Posté par
carpediemre : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 20:52

f(x) = 1 + \dfrac x {x + 1} \\ \\ f(x) - f(y) = ...

Posté par
Phymathire : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 21:20

|f(x)-f(y)| \frac {1}{6}
Et on a :
|x-y| 1
Donc  |f(x)-f(y)|   \frac {1}{4} |x-y|
Aussi simple que ça..?

Posté par
alberto13re : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 21:37

lake @ 29-04-2017 à 19:55

Bonjour,

Citation :
Utilisez l'inégalité des accroissements finis


C' est un minimum!  


Ça ne marcherait pas de dire que f'(x) = 1/(x+1)^2 <= 1/4 (f(1)) sur [1,2] et après d'appliquer les accroissements? :p

Posté par
alb12re : Fonction k-lipschitzienne 29-04-17 à 21:55

@Phymathi
fais ce qu'on te dit

\\ |f(x)-f(y)|=\dfrac{[x-y|}{(x+1) (y+1)}\leqslant\dfrac{[x-y|}{(1+1) (1+1)} \\


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