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Fonction lipschitzienne
Ont dit qu'une fonction f est lipschitzienne sur un intervalle I s'il existe une constante k>0 telle que : pour tous réels x et y appartenant à I, on a : |f(x)-f(y)|
1.A Démontrer que la fonction x-->x est lipschitzienne sur tout l'intervalle [a ; b] contenue dans R.
B. Démontrer que la fonction x-->x² est lipschitzienne sur l'intervalle [0;2]. AIDE : ON POURRA UTILISER l'EGALITE |ab|=|a|x|b| VALABLE POUR TOUT REELS a ET b.
2.On considère la fonction g définie par g(x)=\/¯x²+1
A. Déterminer le domaine de définition de la fonction g
B. Soit x et y deux réels appartenant à [0;2]. Démontrer que
|g(x)-g(y)|=|(x²-y²)/((\/¯x²+1)+(\/¯y²+1))
C. Déduire de la question 1.b que la fonction g est lipschitzienne sur [0;2].
J'ai penser a utiliser le majorant mais je ne sais pas comment faire :/
Pouvez vous m'aider?
Merci
Bonjour 
La définition que tu as donné d'une fonction lipschitzienne n'est pas complète. je ne sais pas si c'est un oubli de ta part ou pas mais voici : fest k-lipschitzienne sur un intervalle [a;b] si pour tout x et y dans [a;b] on a si on a |f(x)-f(y)|
k|x-y|
Bonjour;
je ne sais pas ce qu'est une fonction l.... mais ce n'est pas avec ton explication que je vais l'apprendre: il y a forcement une erreur dans ton énoncé!
Ont dit qu'une fonction f est lipschitzienne sur un intervalle I s'il existe une une constante k>0 telle que : pour tous réels x et y appartenant à I, on a : |f(x)-f(y)|<= K|x-y|.
Voila la definition qui est dans mon énoncé, excusez moi j'ai oublier la fin ^^'
@sbarre : I c'est l'intervalle. Pas la fonction
Ah voila c'est mieux alors je te montre pour le premier exemple...
On prend deux réels x et y dans l'intervalle [a;b]. On a donc
Ensuite si on prend un réel k>0 on a bien , car k est positif.
Donc tu as bien , donc f est lipschitzienne
Essaye un peu de chercher 
indice : , ensuite pense identité remarquable puis aide toi de ce qu'ils te donnent comme aide dans l'énoncé.
Es-tu sur de toi? pour moi a²-b²=(a-b)(a+b) et pas (a²-2ab+b²) à mois que ça vienne juste de changer 
Alors oui c'est déjà mieux. Donc on a
Ensuite, il ne faut pas oublier que x et y appartiennent à l'intervalle [0;2] donc
Donc , t'es d'accord?
Merci beaucoups yogodo
Pour le 2.a. c'est bien IR le domaine de definition?
Pour le 2.b. Je vois pas du tout comment m'y prendre
oups c'est pas le signe - devant c'est la barre de la valeur absolue elle devait être fatiguée elle s'est couchée 
Ha j'ai trouver
au numérateur on trouve (racine x²+1 - racine y²+1)²
x²+1-y²-1
x²-y²
On retrouve l'égalité de départ
Alors on a ceci :
Or d'après la question 1/b) on a vu que , sur l'intervalle [0;2]
Donc ceci donne :
Or on sait que x2 et y2 donc comment peux tu majorer
A yogodo :
pour démontrer que la fonction x
x est lipschitzienne sur tout l'intervalle [a;b] contenue dans 
tu fais :
On prend deux réels x et y dans l'intervalle [a;b]. On a donc |f(x)-f(y)|=|x-y|
Ensuite si on prend un réel k>0 on a bien |x-y| k|x-y|, car k est positif.
Donc tu as bien 
x
[a;b], |f(x)-f(y)| k|x-y|, donc f est lipschitzienne
Je ne comprend pas pourquoi avec k>0 on a |x-y| k|x-y|. Car k est bien un réel strictement positif donc il se peut que k<1 et dans ce cas l'inégalité ne fonctionne pas. Si k était entier il n'y aurait pas de problème mais la j'ai du mal à suivre... J'espère me tromper et que ta démonstration est juste, j'en ai besoin
bsr svp comment je vais la démonstration du lipshitizienne pour cette fonction
f:[a,b] - >
x->
et merci
bonjour : )
La prochaine fois tu penseras à créer ton propre sujet comme celui-ci est trés agé.
Soient a et b des réels et a < b.
On suppose que f est continue (ou au moins continue par morceaux) sur [a , b].
Ainsi f est bornée et il existe un réel M qui vérifie : .
Nommons g la fonction définie par sur [a , b]. g est bien définie car pour tout x de [a , b] l'intégrande
est au moins continue par morceaux.
Nous cherchons à montrer que g est lipschitzienne sur [a , b].
Soient .
Par suite g est lipschitzienne sur [a , b].
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