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Fonction ln
Bonjour,
Je rencontre des soucis avec un des exercices d'un DM. Je vous écris l'énoncé :
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère (O; i, j) la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[
- Les points A B et C ont pour coordonnées respectives (1;0), (1;2), (0;2)
- La courbe C passe par le point B et la droite BC est tangente à C en B
- Il existe deux réels positifs a et b tels que, pour tout réel x strictement positif, f(x) = (a + bln(x))/x
1.a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f'(1).
b. Vérifier que pour tout réel x strictement positif, f'(x) = ((b-a) - bln(x))/x²
c. En déduire les réels a et b.
2.a. Justifier que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[, f'(x) a le même signe que -ln(x).
b. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. On pourra remarquer que, pour tout réel x strictement positif, f(x) = (2/x) + ((2ln(x))/x).
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.
3.a. Démontrer que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur l'intervalle ]0 ; 1].
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un réel β de l'intervalle ]1 ; +∞[ tel que f(β) = 1. Déterminer l'entier n tel que n < β < n+1
Voici ce que j'ai répondu :
1.a. f(1) = 2 et f'(1) = 0
b. f = u/v avec u(x) = a + bln(x) et v(x) = x
u'(x) = b/x v'(x) = 1
f'= (u'v - uv')/ v²
f'(x) = (x*(b/x) - [a + bln(x)]) / x² = [b-a-bln(x)] / x² = [(b-a) - bln(x)]/x²
c. D'après 1.a., f(1) = 2 et f'(1) = 0. De plus, d'après 1.b., f'(x) = [(b-a) - bln(x)]/x²
On obtient ainsi le système :
([a + bln(1)] / 1) = 2
[(b-a) - bln(1)]/1² = 0
⇔ a + 0 = 2
b - a - 0 = 0
⇔ a = 2
b = 0 + a
⇔ a = 2
b = 2
Je me suis trompé ici, car les limites que je trouve aux questions d'après ne me semblent pas correctes. Il faudrait m'indiquer où se trouve mon erreur, pour que je puisse passer à la suite.
J'ajoute aussi que je ne suis pas sûr de comprendre la question 2)a). Doit-on étudier le signe de f' ?
Merci !
Bonjour,
1a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f'(1).
. f(1) = 2 et f'(1) = 0 tes réponses sont fausses
Bonjour
Pourquoi ce décalage sur le graphique ?
En tenant d'icelui les réponses sont correctes.
Pourquoi y aurait-il une erreur ?
Bonjour PLSVU Je vous laisse poursuivre
Vous ne répondez pas à ma question Pourquoi 1 n'est-il pas au bout de la flèche du vecteur représentant
Je ne sais pas, j'ai scanné le graphique de l'énoncé. Il n'y a pas d'explication à ce sujet sur ma feuille.
Mais le 1 est bien à deux carreaux sur votre énoncé regardez bien le scan est-il conforme à l'énoncé ?
rescannez-le s'il est différent vous l'envoyez sinon ce n'est pas la peine
Les deux graphiques sont identiques.
Pour les valeurs de f(1) et de f'(1), je m'étais basé sur les données de l'énoncé, et non sur la graphique, car je ne voyais pas il pouvait m'aider à répondre à la question.
J'ai bien l'impression que le graphique est faux Il y a eu un décalage sur l'axe des abscisses
a bien pour abscisse 1 et non 0,5 comme semble le suggérer le faux graphique.
De toute façon ce graphique ne sert à rien.
car on définit le point par ces coordonnées
, car la tangente en B d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses
Vous ne mettez pas comment vous calculez les limites
on vous dit
ce qui prouve bien que
limite en 0 de 2/x = +∞
limite de 2 en 0 = 2
limite en 0 de ln(x) / x = 0 par croissance comparée.
Par produit, limite en 0 de 2ln(x) / x = 0
Par somme, limite en 0 de (2/x) + (2ln(x)/x) = +∞
limite en +∞ de 2/x = 0
limite en +∞ de 2 = 2
limite en +∞ de ln(x) / x = 0 par croissance comparée.
Par produit, limite en +∞ de 2ln(x) / x = 0
Par somme, limite en +∞ de (2/x) + (2ln(x) / x) = 0
Je pense que c'est faux car ça ne correspond pas à la courbe...
D'accord j'ai compris pour la limite en 0. Je passe au tableau de variations.
Concernant la question 2.a., faut-il étudier le signe de f' ?
Comme d'habitude, c'est bien à partir du signe de la dérivée que vous déduisez le sens de variation de la fonction par conséquent évidemment signe de
Pour la 2.a. : Étude du signe de f' :
x² > 0
(b-a) - ln(x) >= 0 ⇔ (2 - 2) - 2ln(x) >= 0 ⇔ -2ln(x) >= 0 ⇔ ln(x) <= 0
Je trouve que f' est du signe de ln(x) et non du signe de -ln(x)...
Parce que la fonction dérivée ne garde pas un signe constant
sur un intervalle positif sur l'autre négatif
Malgré le défaut du graphique vous voyez bien que la fonction est croissante d'abord et décroissante ensuite.
Vous citez les théorèmes
Si pour tout alors
est strictement croissante sur
.
Si pour tout alors la fonction
est strictement décroissante sur
.
Ensuite le tableau de variation
D'accord. Pour la 2)c) :
signe de f': valeur interdite en 0, positive sur ]0 ; 1[, négative sur ]1 ; +∞[
variations de f valeur interdite en 0, croissante sur ]0 ; 1[, décroissante sur ]1 ; +∞[
Pour la 3.a. : Sur ]0 ; 1], f est continue (car elle est dérivable sur R+) et strictement croissante.
f(1) = 2 et la limite de f en 0 vaut - ∞
1 E ]-∞ ; 2] donc d'après le th de la bijection, l'équation f(x) = 1 admet une unique solution dans ]0 ; 1].
D'accord, je passe à la 3.b.
Par contre, pour la 1.c., avec f(1)=0 , on ne peut pas trouver a = b = 2...
Ah je comprends mieux !
Pour la 3.b. : Sur [1 ; +∞[, f est continue et strictement croissante.
f(1) = 2 et la limite de f en +∞ vaut 0
1 E [2 ; 0[ donc d'après le th de la bijection, l'équation f(x) = 1 admet une unique solution dans [1 ; +∞[.
Est-ce ainsi qu'il faut commencer ? Cette question n'est pas formulée comme la précédente.
On ne vous demande pas de répéter ce que vous avez fait. Vous auriez pu écrire on démontre de même que
En revanche dans cette question on vous demande un encadrement de par deux entiers consécutifs et de donner la valeur de
L'équation f(x) = 1 admet une unique solution β dans [1 ; +∞[.
Ensuite, d'après la calculatrice, 5 < β < 6 donc n = 5
Faut-il trouver n algébriquement ou la calculatrice suffit ?
Oui, car vous ne pouvez résoudre l'équation et vous vous mettez dans les conditions d'application du théorème de la bijection sur cet intervalle
Vous calculez f(5) et f(6) le premier est supérieur à 1 le second est inférieur à 1 donc est compris entre 5 et 6 c'est bien ce que vous dit le théorème
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