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Fonction Ln et Exp
Bonjour, voici mon exercice:
Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x par: f(x)=ln(1+exp(-x))
On note C la représentation graphique de f dans le plan rapporté au repère orthonormal.
1. Déterminer les limites de f lorsque x tend vers -inf et +inf
Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
2. Montrer que pour tout x appartenant à 
, f(x)+x=ln(exp(x)+1)
En déduire la valeur de lim f(x)+x quand x tend vers +inf
On appelle D la droite d'equation y=-x
Interpréter le résultat précédent par rapport à C et D
3. tracer D et C (unité graphique: 4cm). On construira, en particulier, la tangente à C au point de C d'abscisse 0
4. Soit p un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d'abscisses respectives p et -p
a. Vérifier que f(p)-f(-p)=-p. En déduire que la droite (MN) garde une direction fixe que l'on précisera.
b. Montrer que l'on : f'(p)-f'(-p)=-1. En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l'axe des ordonnées.
c. illustrer sur la courbe C les résultats précédents en prenant p=1
5. Montrer que pour tout nombre réel t strictement positif on a:
t-((t^2)/2)<ln(1+t)<t
En déduire que pour tout réel x on a:
exp(-x)-(exp(-2x)/2)<f(x)<exp(-x)
Voilà!
J'ai réussi a répondre aux questions de 1 à 4.a. et pour la 4.b j'ai juste réussi le calcul.
J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
Pardon, j'avais lu que tu n'avais fait que la 1 et la 4a ....
Donc en fait tu bloques à la 4b, il n'est donc peut-être pas très utile de tout refaire depuis le début.
As-tu essayé d'écrire l'expression de chaque équation de tes tangentes en M et N ? (en fonction de p et de x)
À vrai dire le sujet était écrit avec f(p)+f(-p)=-1 mais ça ne marchait pas
Qu'est-ce que c'est que ce bims, tu as changé l'énoncé ???
Non, mais en faisant le calcul selon l'énoncé je ne trouvais pas le résultat demandé, tandis qu'avec le - je trouvais bien le résultat. Je me suis demandé si le prof ne s'était pas encore trompé...
Oups pardon je viens de me rendre compte de la boulette. Mais en fait je ne comprends toujours pas le lien entre somme égale à -1 et le point de concours des tangentes sur l'axe des abscisses.
Mais en effet on a: f'(p)-f'(-p)=(-1/(exp(p)+1))-(exp(p)/(exp(p)+1))=(-1-exp(p))/(exp(p)+1)=((-1)(exp(p)+1))/(exp(p)+1)=-1
Il s'agit du même en remplaçant juste le - par +
Donc:
Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x par: f(x)=ln(1+exp(-x))
On note C la représentation graphique de f dans le plan rapporté au repère orthonormal.
1. Déterminer les limites de f lorsque x tend vers -inf et +inf
Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
2. Montrer que pour tout x appartenant à , f(x)+x=ln(exp(x)+1)
En déduire la valeur de lim f(x)+x quand x tend vers +inf
On appelle D la droite d'equation y=-x
Interpréter le résultat précédent par rapport à C et D
3. tracer D et C (unité graphique: 4cm). On construira, en particulier, la tangente à C au point de C d'abscisse 0
4. Soit p un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d'abscisses respectives p et -p
a. Vérifier que f(p)-f(-p)=-p. En déduire que la droite (MN) garde une direction fixe que l'on précisera.
b. Montrer que l'on : f'(p)+f'(-p)=-1. En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l'axe des ordonnées.
c. illustrer sur la courbe C les résultats précédents en prenant p=1
5. Montrer que pour tout nombre réel t strictement positif on a:
t-((t^2)/2)<ln(1+t)<t
En déduire que pour tout réel x on a:
exp(-x)-(exp(-2x)/2)<f(x)<exp(-x)
Ok merci beaucoup.
Et si vous pouviez regarder pour le 5. aussi, ça m'aiderait beaucoup.
Merci d'avance
Pour cela :
Pose et étudie ses variations.
Tu verras ainsi qu'elle est décroissante et toujours négativen, ce qui te permettra de conclure que :
soit
pour
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