Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau terminale
Partager :

fonction log et suites

Posté par
Nelcar 27-02-21 à 16:47

Bonjour,
voici un exercice qui se compose de 2 parties. Je commence par la partie A:
On considère la fonction f définie sur ]-1;+infini[ par f(x)=x -(ln(1+))/(1+x)
la courbe Cf représentative de la fonction f est donnée ci-dessous :
partie A :
Soit N la fonction définie sur ]-1;+infini[ par N(x)=(1+x²)-1+ln(1+2)
1) vérifier que N est strictement croissante sur ]-1;+infini[
Calculer N(0). En déduire le signe de N(x) sur ]-1;+infini[
2) démontrer que f '(x) = N(x)/(1+x)². En déduire le tableau de variations de f sur ]-1;+infini[
3) Soit (D) la droite d'équation y=x. Démontrer que la courbe Cf coupe la droite (D) en un point unique

j'ai fait pour cette partie
1)N(x)= (1+x)²-1+ln(1+x)
N'(x)=2(1+x)+1/1+x>0 donc la fonction N est strictement croissante sur ]-1;+infini[
N(0)=1-1+ln1=0 d'après les variations de N on peut dire que N est strictement négative sur ]-1;0[ et strictement positive sur ]0:+infini[
2)
pour x>-1 on a x+1>0 et donc la fonction x ln(1+x) est dérivable sur  ]-1;+infini[ . Par suite la fonction x ln(1+x)/(1+x) est dérivable sur  ]-1;+infini[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur  ]-1;+infini[  dont le dénominateur ne s'annule pas sur  ]-1;+infini[  et finalement f est dérivable sur  ]-1;+infini[ . De plus, pour x >-1
f(x)= x -(ln(1+))/(1+x)  u(x)=ln(1+x)  u'(x)=1/(1+x)
v(x)=1+x  v'(x)=1
f '(x)= 1 - numérateur : 1/(1+x)*(1+x)-ln(1+x) et au dénominateur (1+x)²
f '(x)= 1-   (1-ln(1+x))/(1+x)²
f '(x)=((1+x)²-1+ln(1+x))/(1+x)²= N(x)/(1+x)²
tableau de variation de f
x            -                                       0                                 +infini
f '(x)                       -                     0                     +
f   flèche descendante       0  flèche montante

f(0)=0-(ln1)/1=0
3) D la droite d'équation y=x
on doit résoudre l'équation f(x)= x  x-(ln(1+))/(1+x)=x(ln(1+))/(1+x)=0 ln(1+x)=0 x=0
la courbe C et la droite D se coupent en O(0;0)
C et D ont un unique point commun qui est le point O

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 16:54

La fonction est mal définie  f(x)=x-\dfrac{\ln(1+?)}{1+x}

Ensuite pour la courbe pas de problème on peut la tracer.

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 16:57

j'ai oublié de joindre le croquis

fonction log et suites

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 16:57

Il y a d'autres problèmes dans le texte  tantôt l'exposant est devant la parenthèse  x^2 tantôt derrière )^2 ce qui donne un texte différent

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 16:58

ah !
c'est
f(x)= x -   (ln(1+x)/(1+x)

MERCI

c'est x à la place de ton point d'interrogation

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 16:59

J'eus préféré la définition exacte de la fonction

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 17:19

Partie A

N(x)=(1+x)^2-1+\ln(1+x) donc N'(x)=2(1+x)+\dfrac{1}{1+x}

N'(x)>0 comme somme de deux réels positifs N ; fonction croissante ; N(0)=0

f'(x)=1-\left(\dfrac{\dfrac{1}{x+1}\times (x+1)-\ln (1+x)}{(1+x)^2}\right)

f'(x)=\dfrac{(1+x)^2 -1+\ln (1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{N(x)}{(1+x)^2}

3) f(x)=x \quad;\quad x-\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=x \iff \ln (1+x) =0 d'où 1+x=1 et x=0


On peut donc passer à la suite

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 18:19

Re,
qu'aurais-tu voulu que je mette comme définition pour la fonction ?
Le reste est bon ?

Pour la partie B , là je galère
le sujet est :
Etude d'une suite récurrente
1) démontrer que si x[0;4] alors f(x)[0;4]
2) on considère la suite (un) définie par u0=4 et un+1=f(un) pour tout n B
sur le graphique, enutilisant la droite (D), placer les points de Cf, d'abscisses respectives u0,u1,u2 et u3
3) démontrer que pour tout entier naturel n, on a unN
4) Etudier la monotonie de la suite (un)
5) Démontrer que la suite (un) est convergente. On note l sa limite
6) utiliser la partie A pour donner la valeur l
(il y a même une partie C sur un algorithme)

Voilà ce que j'ai fait
1) la fonction f est strictement croissante sur [0;+infini[ donc aussi sur [0;4] alors f(x) [f(o);f(4)]Or f(0)=0 et f(4)=4- ln5/5<4 donc si x [0;4]  alors f(x)[0;4]
2) voir graphique
3)on a u0=4 [0:4] cet encadrement est vrai quand n=0
Soit nN. Supposons que un[0;4]. Alors d'après la question 1) de la partie B, un+1= f(un[0:4]
donc on a montré par récurrence que pour tour entier naturel n, un[0:4]
4)soit n un entier naturel
un+1-un= un- ln(1+un)/(1+un0  car 1+un1 donc la suite (un) est décrissante
5)Puisque la suite (un)est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un) est convergente.
j'ai vu sur internet dans un exemple mais je ne sais pas comment on fait pour savoir qu'elle est minorée par 0 Merci de m'expliquer SVP
6) notons l la limite de la suite (un). Pour tout entier naturel n, on a 0un4 et donc par passage à la limite quand n tend vers + l'infini, on a 0l4. Puisque la fonction f est continue sur [0;4] et donc en l, en faisant tendre n vers + l'infini dans l'égalité un+1=f(un)n on obtien f(l)=l. La question 3) de la partie A permet alors d'affirmer que l=0

MERCI

fonction log et suites

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 18:23

Celle que vous avez écrite après  lorsque vous avez dit x à la place de ?

Vous avez bien vu qu'on avait les mêmes résultats et pensez-vous que j'aurais dit  on passe à la suite s'il y avait quelque chose d'incorrect

Là je regarde la partie B

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 18:33

Quels sont les ensembles B et N ?

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 18:41

je ne comprends pas ce que vous voulez dire par quels sont les ensembles B et N ?

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 18:46

Ce sont des ensembles que vous avez écrits question 2, question 3

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 18:48

ah oui ce n'est pas B c'est

MERCI

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 18:49

et le 2 c'est également

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 18:49

Il me semble qu'à la question 2 il s'agit de \N

à la question 3 il devrait s'agir de l'intervalle [0~~;~4]

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 18:51

u_n\in \N là, non ce n'est pas possible

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 18:52

pour la question 2 il s'agit de
pour la question 3 oui c'est démontrer que pour tout entier naturel n, on a un [0;4]

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 19:16

Question 1
x\in[0~,~4], f continue, strictement croissante donc f(x)\in [f(0)~;~f(4)]

[f(0)~;~f(4)]\subset[0~;~4]  donc si x\in[0~;~4] alors f(x)\in [0~;~4] la réciproque étant fausse

2 oui pour le graphique

3  u_0\in[0~;~4] propriéte vraie

si u_k\in[0~;~4], montrons alors que  u_{k+1}\in [0~;~4]

D'après B-1   u_k\in [0~;~4] \Rightarrow f(u_k)\in [0~;~4] or f(u_k)=u_{k+1}

par conséquent u_{k+1}\in [0~;~4]

Pour tout n,\  u_n\in [0~;~4]

4)u_{n+1}-u_n= u_n-\dfrac{\ln (1+u_n)}{1+u_n}-u_n= -\dfrac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}

u_n\geqslant 0 \ ;\ 1+u_n \geqslant 1\ ;\  \ln (1+u_n) \geqslant \ln 1 \ ;\  \ln (1+u_n) \geqslant 0

Il en résulte \dfrac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}\geqslant 0 d'où -\dfrac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}\leqslant 0

par conséquent u_{n+1}-u_n \leqslant 0 la suite est donc décroissante

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 19:31

pour la question1)  tu veux dire quoi par la réciproque est fausse.

MERCI de me dire quoi pour la suite

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 19:37

Question 5 on a montré que pour tout n,\  u_n\in[0~;~~4] par conséquent la suite est bien minorée par 0, étant décroissante, elle est donc convergente. La limite est telle que

f(\ell)=\ell d'où  (A-3)\ell=0

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 19:39

  Ce n'est pas parce que f(x)\in[0~;~4]  que x\in [0~;~4]

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 20:07

oui je crois que parfois je mélange
pour la question 6 c'est ce que tu as mis : la limite est telle que f(l)=l d'où (partie A 3) l=0

c'est suffisant avec ça (ce n'est pas la peine que je mette ce que j'avais mis au-dessus.

petite question comment vois-tu que cette suite est minorée par 0?

Partie C Etude d'un algorithme
on considère l'algorithme suivant


U flèche vers U 4
N flèche vers N 0
tant que   U 10^-p
                U flèche vers U U-ln(1+u)/1+u
                 N flèche vers N N +1
Fin tant que

si on entre P=3, quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 20:29

Il me semble l'avoir écrit  : vous avez montré question 3 que pour tout n
les éléments u_n  appartenaient à l'intervalle [0~;~4]
le plus petit élément de cet intervalle est 0 elle est donc bien minorée  par 0


f converge vers \ell et est continue en \ell donc f(\ell)=\ell

je regarde l'algorithme tout à l'heure

  pour faire de belles flèches  -> ou  <- tiret sous 6  ou signe - et plus grand plus petit selon le sens

Sinon en latex \leftarrow ou rightarrow

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 27-02-21 à 20:31

ok ça marche

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 27-02-21 à 21:08

Prompt p
U\leftarrow 4
N\leftarrow0
Tant que U \geqslant 10^{-p}
U \leftarrow U-(\ln U+1)/(1+U)
N\leftarrow N+1
fin tant que

Que veut-on en sortie ?

J'ai ajouté la demande de p pour faire varier la précision

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 09:08

Bonjour hekla,
hier soir je n'ai pas vu ton message, j'étais partie me coucher car fatiguée.

J'ai essayé de regarder sous python mais je n'y arrive pas la ligne avec lin ne va pas (se met en rouge)

Tu me demandes ce qu'on veut en sortie, j'ai du mal à comprendre cet exercice
dans cet algorithme
c'est fait comme si u0=4 c'est bien ça donc on cherche la valeur de u lorsqu'il sera égal à 0,001 c'est ça

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 09:37

Il me semble que l'on veuille le plus petit entier n tel que u_n <10^{-3}

Je ne connais pas Python, J'ai pris une calculatrice  et en sortie, en demandant N, elle répond 14

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 09:45

ok c'est ce que j'ai trouvé à peu près avec géogébra

donc si j'ai bien compris 14 c'est u14 et c'est lorsque x 10^-3 c'est bien ça

Peux-tu m'expliquer ce que tu as fait sur ta calculatrice ?

Donc en résumé on cherchait la valeur de 4 lorsque x serait 0,003

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 10:10

Le programme de 21 : 08  
fonction log et suites


en dernières lignes
Il manque
End
Disp N

Écrit pour TI

Non pas tout à fait  on veut que le terme de la suite soit plus petit que 10^{-3}

donc on fait tourner la boucle tant  que cet objectif n'est pas atteint,
c'est-à-dire tant que la valeur de U est plus grande que 0,001 Une fois ce seuil passé la boucle s'arrête et le rang s'affiche

fonction log et suites

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 10:31

j'ai une TI 83 Premium
je ne sais pas comment on écrit en minuscule et comment on fait un espace

MERCI
(ça ne te dérange pas que je mette un autre sujet en python car j'aimerai comprendre mon erreur)

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 10:46

Vous écrivez en majuscule et pour l'espace (Où voulez-vous en placer une) c'est fait normalement sinon vous la trouvez en \alpha 0

Ouvrez un  sujet concernant  python quelqu'un viendra vous aider

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 11:02

ok

mais j'aimerai quand même faire ce programme sur ma ti (j'en ai jamais fait)
à la fin tu as rajouté
end
disp N

puis après que fais-tu pour avoir la liste ?

MERCI (je vais ouvrir un autre sujet pour python)

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 11:45

La liste provient d'un tableur
On pourrait faire afficher toutes les valeurs de U. c'était plutôt pour montrer où le programme s'arrête.

Touche PRGM

3 possibilités   exécuter  éditer  nouveau

  nouveau en surbrillance et enter
Vous donnez un nom  les touches sont mises en alpha  donc pas besoin d'appuyer pour avoir les lettres
8 caractères maximum
je prends comme exemple celui dont vous avez l'image

Prompt    appuyez sur PRGM   s'affiche alors  CTL  I/0  exec

dans le premier  vous trouvez les instructions if  While  end pause

dans I/0 les instructions d'entrée (In) sortie (Out)

le troisième pour exécuter des sous-programmes

Prompt  I/0  2  alpha  P  enter

4 sto  U enter % affecte à la mémoire U la valeur 0

0 sto N enter

While  on appuie sur  PRGM CTL 5  enter

U

\geqslant  2nd math (test) 4

10 ^ (-) P enter

U-LN(1+U)/(1+U) enter

N+1 sto  N enter

End    PRGM CTL 7 enter

Disp  enter % PRGM  I/O 3

2nd MODE (quit)

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 11:58

Merci hekla mais trop compliqué pour ma petite tête.

Petite question, ce résultat il n'y a pas moyen de le trouver autrement.

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 12:07

Non ce n'est pas si compliqué que cela
je vous ai mis tout le détail  pour trouver les instructions  une fois que vous en aurez saisi quelques-uns,  ce sera beaucoup plus simple.
Avant les ordinateurs et les calculatrices il y avait le papier et le crayon  ainsi que des tables de
logarithmes on peut encore le faire à la main cela prend plus de temps

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 12:33

ok
je vais essayer mais plus tard

MERCI bon appétit

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 12:36

au fait si tu peux me mettre ta formule en B3

MERCI (je vais essayer sous excel)

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 13:58

=B2-LN(1+B2)/(1+B2) on peut mettre $B  pour rester dans la colonne B

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 17:27

j'ai fait sur excel et j'ai trouvé comme toi

MERCI.

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 17:41

Bien  maintenant sur TI

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 19:23

j'ai fait ce que tu as fait sur mon TI mais après avoir fait le programme je ne sais pas comment on fait pour avoir le résultat

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 19:35

PRGM
allez sur le nom du programme puis enter

À l'affiche de P vous tapez ce que vous voulez  3 enter
puisqu'on  vous a demandé à 10^{-3}
ou 1 si vous voulez aller plus vite pour savoir si cela fonctionne
et vous attendez  (à peine 1 seconde)

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 28-02-21 à 20:26

non ça ne marche pas, je ne comprends pas j'ai fait comme vous pourtant

PROGRAMM
rompt P
:4U
:0N
:While U10^-P
:U-(ln(U+1))/(U+1)U
:N+1N
:End
isp N

qu'est-ce que tu appelles à l'affiche de P

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 28-02-21 à 20:31

Lorsque vous lancez le programme
vous avez première ligne P ?     vous tapez 3 enter

fonction log et suites

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 01-03-21 à 09:42

Bonjour Hekla,
su ma calculatrice il y a uniquement la première ligne pas de P = ?

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 01-03-21 à 10:08

Bonjour

PRGM
sur l'écran vous avez  EXEC  en surbrillance
vous descendez  jusqu'au nom de votre programme  faites enter
vous avez à l'écran maintenant le nom du programme  faites alors enter
le programme débute  et vous affiche donc P=?

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 01-03-21 à 11:47

j'ai fait ce que vous m'avez dit et quand j'appuie sur entrer
pour que le programme débute et là il ne m'affiche rien il va à la page erreur: syntax 1: quitter
2: voir

MERCI

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 01-03-21 à 11:49

quand je fais le 2 voir
il me met le o de promptP en clignotant

MERCI

Posté par
heklare : fonction log et suites 01-03-21 à 11:54

Vous avez bien pris Prompt P  vous ne l'avez pas tapé lettre par lettre ?

Posté par
Nelcarre : fonction log et suites 01-03-21 à 12:59

si j'ai tapé lettre par lettre
je viens de rectifier
maintenant c'est la touche while  donc je fais comme prompt
maintenant c'est la dernière ligne Disp N   ça clignote à s

MERCI
(petite question : en entant là comment faire pour revenir à la page  prgn ?)

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1587 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !