Bonjour,
voici un exercice qui se compose de 2 parties. Je commence par la partie A:
On considère la fonction f définie sur ]-1;+infini[ par f(x)=x -(ln(1+))/(1+x)
la courbe Cf représentative de la fonction f est donnée ci-dessous :
partie A :
Soit N la fonction définie sur ]-1;+infini[ par N(x)=(1+x²)-1+ln(1+2)
1) vérifier que N est strictement croissante sur ]-1;+infini[
Calculer N(0). En déduire le signe de N(x) sur ]-1;+infini[
2) démontrer que f '(x) = N(x)/(1+x)². En déduire le tableau de variations de f sur ]-1;+infini[
3) Soit (D) la droite d'équation y=x. Démontrer que la courbe Cf coupe la droite (D) en un point unique
j'ai fait pour cette partie
1)N(x)= (1+x)²-1+ln(1+x)
N'(x)=2(1+x)+1/1+x>0 donc la fonction N est strictement croissante sur ]-1;+infini[
N(0)=1-1+ln1=0 d'après les variations de N on peut dire que N est strictement négative sur ]-1;0[ et strictement positive sur ]0:+infini[
2)
pour x>-1 on a x+1>0 et donc la fonction x ln(1+x) est dérivable sur ]-1;+infini[ . Par suite la fonction x
ln(1+x)/(1+x) est dérivable sur ]-1;+infini[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]-1;+infini[ dont le dénominateur ne s'annule pas sur ]-1;+infini[ et finalement f est dérivable sur ]-1;+infini[ . De plus, pour x >-1
f(x)= x -(ln(1+))/(1+x) u(x)=ln(1+x) u'(x)=1/(1+x)
v(x)=1+x v'(x)=1
f '(x)= 1 - numérateur : 1/(1+x)*(1+x)-ln(1+x) et au dénominateur (1+x)²
f '(x)= 1- (1-ln(1+x))/(1+x)²
f '(x)=((1+x)²-1+ln(1+x))/(1+x)²= N(x)/(1+x)²
tableau de variation de f
x - 0 +infini
f '(x) - 0 +
f flèche descendante 0 flèche montante
f(0)=0-(ln1)/1=0
3) D la droite d'équation y=x
on doit résoudre l'équation f(x)= x x-(ln(1+))/(1+x)=x
(ln(1+))/(1+x)=0
ln(1+x)=0
x=0
la courbe C et la droite D se coupent en O(0;0)
C et D ont un unique point commun qui est le point O
MERCI
Il y a d'autres problèmes dans le texte tantôt l'exposant est devant la parenthèse x^2 tantôt derrière ce qui donne un texte différent
Partie A
donc
comme somme de deux réels positifs N ; fonction croissante ; N(0)=0
3) d'où
et
On peut donc passer à la suite
Re,
qu'aurais-tu voulu que je mette comme définition pour la fonction ?
Le reste est bon ?
Pour la partie B , là je galère
le sujet est :
Etude d'une suite récurrente
1) démontrer que si x[0;4] alors f(x)
[0;4]
2) on considère la suite (un) définie par u0=4 et un+1=f(un) pour tout n B
sur le graphique, enutilisant la droite (D), placer les points de Cf, d'abscisses respectives u0,u1,u2 et u3
3) démontrer que pour tout entier naturel n, on a unN
4) Etudier la monotonie de la suite (un)
5) Démontrer que la suite (un) est convergente. On note l sa limite
6) utiliser la partie A pour donner la valeur l
(il y a même une partie C sur un algorithme)
Voilà ce que j'ai fait
1) la fonction f est strictement croissante sur [0;+infini[ donc aussi sur [0;4] alors f(x) [f(o);f(4)]Or f(0)=0 et f(4)=4- ln5/5<4 donc si x
[0;4] alors f(x)
[0;4]
2) voir graphique
3)on a u0=4 [0:4] cet encadrement est vrai quand n=0
Soit nN. Supposons que un
[0;4]. Alors d'après la question 1) de la partie B, un+1= f(un
[0:4]
donc on a montré par récurrence que pour tour entier naturel n, un[0:4]
4)soit n un entier naturel
un+1-un= un- ln(1+un)/(1+un0 car 1+un
1 donc la suite (un) est décrissante
5)Puisque la suite (un)est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un) est convergente.
j'ai vu sur internet dans un exemple mais je ne sais pas comment on fait pour savoir qu'elle est minorée par 0 Merci de m'expliquer SVP
6) notons l la limite de la suite (un). Pour tout entier naturel n, on a 0un
4 et donc par passage à la limite quand n tend vers + l'infini, on a 0
l
4. Puisque la fonction f est continue sur [0;4] et donc en l, en faisant tendre n vers + l'infini dans l'égalité un+1=f(un)n on obtien f(l)=l. La question 3) de la partie A permet alors d'affirmer que l=0
MERCI
Celle que vous avez écrite après lorsque vous avez dit à la place de ?
Vous avez bien vu qu'on avait les mêmes résultats et pensez-vous que j'aurais dit on passe à la suite s'il y avait quelque chose d'incorrect
Là je regarde la partie B
pour la question 2 il s'agit de
pour la question 3 oui c'est démontrer que pour tout entier naturel n, on a un [0;4]
MERCI
Question 1
,
continue, strictement croissante donc
donc si
alors
la réciproque étant fausse
2 oui pour le graphique
3 propriéte vraie
si , montrons alors que
D'après B-1 or
par conséquent
Pour tout
4)
Il en résulte d'où
par conséquent la suite est donc décroissante
pour la question1) tu veux dire quoi par la réciproque est fausse.
MERCI de me dire quoi pour la suite
Question 5 on a montré que pour tout par conséquent la suite est bien minorée par 0, étant décroissante, elle est donc convergente. La limite est telle que
d'où (A-3)
oui je crois que parfois je mélange
pour la question 6 c'est ce que tu as mis : la limite est telle que f(l)=l d'où (partie A 3) l=0
c'est suffisant avec ça (ce n'est pas la peine que je mette ce que j'avais mis au-dessus.
petite question comment vois-tu que cette suite est minorée par 0?
Partie C Etude d'un algorithme
on considère l'algorithme suivant
U flèche vers U 4
N flèche vers N 0
tant que U 10^-p
U flèche vers U U-ln(1+u)/1+u
N flèche vers N N +1
Fin tant que
si on entre P=3, quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme
MERCI
Il me semble l'avoir écrit : vous avez montré question 3 que pour tout n
les éléments appartenaient à l'intervalle
le plus petit élément de cet intervalle est 0 elle est donc bien minorée par 0
converge vers
et est continue en
donc
je regarde l'algorithme tout à l'heure
pour faire de belles flèches -> ou <- tiret sous 6 ou signe - et plus grand plus petit selon le sens
Sinon en latex \leftarrow ou rightarrow
Prompt p
U4
N0
Tant que U
U U-(\ln U+1)/(1+U)
N N+1
fin tant que
Que veut-on en sortie ?
J'ai ajouté la demande de p pour faire varier la précision
Bonjour hekla,
hier soir je n'ai pas vu ton message, j'étais partie me coucher car fatiguée.
J'ai essayé de regarder sous python mais je n'y arrive pas la ligne avec lin ne va pas (se met en rouge)
Tu me demandes ce qu'on veut en sortie, j'ai du mal à comprendre cet exercice
dans cet algorithme
c'est fait comme si u0=4 c'est bien ça donc on cherche la valeur de u lorsqu'il sera égal à 0,001 c'est ça
MERCI
Il me semble que l'on veuille le plus petit entier tel que
Je ne connais pas Python, J'ai pris une calculatrice et en sortie, en demandant N, elle répond 14
ok c'est ce que j'ai trouvé à peu près avec géogébra
donc si j'ai bien compris 14 c'est u14 et c'est lorsque x 10^-3 c'est bien ça
Peux-tu m'expliquer ce que tu as fait sur ta calculatrice ?
Donc en résumé on cherchait la valeur de 4 lorsque x serait 0,003
MERCI
Le programme de 21 : 08
en dernières lignes
Il manque
End
Disp N
Écrit pour TI
Non pas tout à fait on veut que le terme de la suite soit plus petit que
donc on fait tourner la boucle tant que cet objectif n'est pas atteint,
c'est-à-dire tant que la valeur de U est plus grande que 0,001 Une fois ce seuil passé la boucle s'arrête et le rang s'affiche
j'ai une TI 83 Premium
je ne sais pas comment on écrit en minuscule et comment on fait un espace
MERCI
(ça ne te dérange pas que je mette un autre sujet en python car j'aimerai comprendre mon erreur)
Vous écrivez en majuscule et pour l'espace (Où voulez-vous en placer une) c'est fait normalement sinon vous la trouvez en \alpha 0
Ouvrez un sujet concernant python quelqu'un viendra vous aider
ok
mais j'aimerai quand même faire ce programme sur ma ti (j'en ai jamais fait)
à la fin tu as rajouté
end
disp N
puis après que fais-tu pour avoir la liste ?
MERCI (je vais ouvrir un autre sujet pour python)
La liste provient d'un tableur
On pourrait faire afficher toutes les valeurs de U. c'était plutôt pour montrer où le programme s'arrête.
Touche PRGM
3 possibilités exécuter éditer nouveau
nouveau en surbrillance et enter
Vous donnez un nom les touches sont mises en alpha donc pas besoin d'appuyer pour avoir les lettres
8 caractères maximum
je prends comme exemple celui dont vous avez l'image
Prompt appuyez sur PRGM s'affiche alors CTL I/0 exec
dans le premier vous trouvez les instructions if While end pause
dans I/0 les instructions d'entrée (In) sortie (Out)
le troisième pour exécuter des sous-programmes
Prompt I/0 2 alpha P enter
4 sto U enter % affecte à la mémoire U la valeur 0
0 sto N enter
While on appuie sur PRGM CTL 5 enter
U
2nd math (test) 4
10 ^ (-) P enter
U-LN(1+U)/(1+U) enter
N+1 sto N enter
End PRGM CTL 7 enter
Disp enter % PRGM I/O 3
2nd MODE (quit)
Merci hekla mais trop compliqué pour ma petite tête.
Petite question, ce résultat il n'y a pas moyen de le trouver autrement.
MERCI
Non ce n'est pas si compliqué que cela
je vous ai mis tout le détail pour trouver les instructions une fois que vous en aurez saisi quelques-uns, ce sera beaucoup plus simple.
Avant les ordinateurs et les calculatrices il y avait le papier et le crayon ainsi que des tables de
logarithmes on peut encore le faire à la main cela prend plus de temps
j'ai fait ce que tu as fait sur mon TI mais après avoir fait le programme je ne sais pas comment on fait pour avoir le résultat
MERCI
PRGM
allez sur le nom du programme puis enter
À l'affiche de P vous tapez ce que vous voulez 3 enter
puisqu'on vous a demandé à
ou 1 si vous voulez aller plus vite pour savoir si cela fonctionne
et vous attendez (à peine 1 seconde)
non ça ne marche pas, je ne comprends pas j'ai fait comme vous pourtant
PROGRAMM
rompt P
:4U
:0N
:While U10^-P
:U-(ln(U+1))/(U+1)U
:N+1N
:End
isp N
qu'est-ce que tu appelles à l'affiche de P
MERCI
Bonjour
PRGM
sur l'écran vous avez EXEC en surbrillance
vous descendez jusqu'au nom de votre programme faites enter
vous avez à l'écran maintenant le nom du programme faites alors enter
le programme débute et vous affiche donc P=?
j'ai fait ce que vous m'avez dit et quand j'appuie sur entrer
pour que le programme débute et là il ne m'affiche rien il va à la page erreur: syntax 1: quitter
2: voir
MERCI
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