Bonsoir, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît :
1) h(x)= défini sur ]0;+infini[
a) Déterminer les limites en 0 et +infini
je trouve dans les 2 cas -infini ?
b)Étudier le sens de variation de h
En faisant un tableau de variation je trouve que h(x) est croissante sur ]0;3/2[ et décroissante sur ]3/2;+infini[
c)Montrer que h(x)=0 admet exactement deux solutions bêta et alpha
h est continue et strictement croissante sur ]0;3/2[ ou ]0;3/2] ?
0 est compris entre lim(x->0+) h(x) et h(3/2)
Donc d'après la conséquence du TVI, h(x)=0 admet une unique solution alpha sur ]0;3/2[ ou ]0;3/2] ?
h est continue et strictement décroissante sur ]3/2;+infini[ ou [3/2;+infini[ (desole je ne sais jamais si c'est ouvert ou fermé
0 est compris entre h(3/2) et lim (x->+infini) h(x)
Donc d'après la conséquence du TVI, h(x)=0 admet une unique solution alpha sur [3/2;+infini[
d)En déduire le signe de h(x)
Le signe est - 0 +0 - (je l'ai fait sous forme de tableau de variation) et les 0 sont pour x=alpha et bêta
Il y a une seconde partie mais j'aimerai finir la première d'abord
Merci d'avance
Bonsoir
limites oui
sens de variation oui
Des homonymes 2 fois alpha
en général sur un ouvert
oui signe
image
Merci, donc tout est correcte ?
Et donc pour 3/2 je laisse les crochets ouverts ou fermés ? Car ce n'est pas croissante en x=3/2 ni décroissante
Ah oui donc c'est bon merci...
Voici la partie suivante :
j(x)=15xln(x)-5x2+15x+60
a) Déterminer les limites en 0 et +infini
Je trouve en +infini : -infini et en 0+ : 60
b)montrer pour tout x>0, j'(x)=h(x)
Ça je ne l'ai pas encore fait mais je pense que je peux me débrouiller puisqu'on trouve pareil que h(x)
c) En déduire le sens de variation de j
15ln(x)=0 <=> x=1
-10x+30=0 <=> x=3
Décroissante puis croissante puis décroissante ?
d) Calculer la convexité de j
Je dois faire j''(x) ?
Comme h(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[ puis négatif sur ]beta;+infini[
J'(x) est négatif sur ]0;alpha[ puis positif sur ]alpha;beta[ puis négatif sur ]beta;+infini[
Donc j(x) est décroissante sur ]0;alpha[ puis croissante sur ]alpha;beta[ puis décroissante sur ]beta;+infini[
Aurai-t-il fallu calculer alpha et bêta ?
Apparemment on ne vous l'a pas demandé À la calculatrice vous pouvez trouver une valeur approchée mais dans le tableau il faut garder et
Vous pourriez mettre ces valeurs approchées lors de la présentation de et en 1 c
Pour la d) j''(x)=h'(x)
Donc j''(x)=15/x -10 = -10x+15 / x
x=0 et -10x+5=0 <=> x=0,5
Donc on fait un tableau de variation et on trouve que j(x) est convexe sur ]0;0,5[ ou crochets fermés en 0,5 ? Et concave sur [0,5;+infini[ ?
Le signe de est celui de donc inutile de le redémontrer
positif sur ]0 ;3/2[ donc convexe
négatif sur donc concave
je doute de la formulation au lieu de calculer cela devrait être : étudier
On peut alors préciser qu'il y a un point d'inflexion en
D'accord merci !
Il y a une dernière partie que j'ai oublié d'ajouter :
j(x) montre l'évolution du poul d'un acteur sur 10s. Lorsque x entre 0 et 10s, j(x) est en puls/min
a)Quel est le moment où son poul est au maximum
Je ne sais pa
b)Quel est le moment où la croissance de son poul ralentit ?
La croissance commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?
Ah d'accord merci !
a)Le maximum est le point d'inflexion ? Donc 3/2 ? Donc son pour est maximal à 1,5s pour un poul de 80,37puls/min
b)il commence à ralentir au point d'inflexion donc à 3/2 ?
Reprenons
Partie I on a une fonction h dont on a étudié le sens de variation
croissante jusqu'à 3/2 et décroissante ensuite
Le TVI a permis de montrer qu'il existait une valeur \alpha \approx 0,1495 et une valeur \beta \approx 5,5783
pour lesquelles leur image est nulle.
On en a donc déduit le signe de
strictement négatif sur
strictement positif sur
strictement négatif sur
fin de la partie I
Partie II Étude de la fonction
En résumé le tableau de variation
convexité de j convexe sur ]0~;~3/2[ concave ensuite point d'inflexion en 3/2
j représentant le nombre de pulsations minute le maximum est atteint pour le maximum de soit
D'accord merci !
Mais pour justifier que Bêta est le maximum, calculer j(beta) et bêta suffit à le justifier ?
Et pour la seconde question, son rythme cardiaque ralentit au point d'inflexion ?
\beta est la valeur pour laquelle le maximum est atteint et non le maximum
On pourrait dire d'après le tableau de variation étant croissante avant et décroissante ensuite le maximum est donc atteint en . Il vaut 132
La fonction est croissante sur et décroissante sur ] en considérant la restriction de j' à ]0 ;10]
La toute dernière ligne est pour la question b) ? Je n'ai pas compris pourquoi on parle de j' et non j
Le ralentissement sera prouvé lorsque la tangente à la courbe aura un coefficient directeur de plus en plus petit
le coefficient directeur est bien donné par le nombre dérivé c'est donc la dérivée qu'il faut étudier c'est-à-dire
D'accord merci ! Je voudrai juste revenir sur certaines questions s'il vous plaît :
Pour la question 1) de la première partie, la limite en +infinie il y a une forme indéterminée donc on factorise par le terme le plus fort ?
Donc on a : x(15/x * ln(x)/x -10 + 30/x)
J'ai le droit de séparer le 15 du ln(x) ?
lim 15/x=0
lim ln(x)/x=0 par croissances comparées
lim 10+30/x=10
Donc lim 15/x * ln(x)/x -10 + 30/x=-10
lim x=+infini
Donc lim g(x)=-infini
D'accord merci !
Ensuite pour la limite en 0 de la question 1) de la seconde partie : il y a une forme indéterminée donc on factorise tout ou juste 15xln(x) ? Car il n'y a pas de problèmes avec le reste
Là c'est un peu plus compliqué on se ramène au cas connu
; on obtient alors
on a alors quelque chose de la forme avec
Z tendant vers
Les croissances comparées c'est en l'infini pas en 0 c'est bien pour cela que l'on fait toute cette gymnastique après on le sait et on considère cela comme un résultat connu que l'on ne démontre plus
D'accord merci... Il y a une autre chose que je ne comprend pas :
Pour la toute première limite par exemple en 0+ :
limbg(x)=-infini car lim 15ln(x)=-infini }
lim -10x+30=30 } + =-infini
Ou bien plutôt : lim 15ln(x)=-infini }
lim 10x+30=30 } - =-infini
Laquelle des deux façons je dois faire ?
Ce n'est pas étonnant
est de la forme indéterminée d'où nécessité de la lever
Avec si peu Que faire ? On sait avec la croissance comparée qu'en
si tend vers 0 alors son inverse tend vers
Une idée est donc d'écrire en fonction des inverses
1 l'inverse de est
2 On a maintenant tout ce que l'on veut
Il en résulte que
D'accord merci !
Pour la limite en +infini, je factorise tout par x^2 ?
Donc on obtient lim g(x)=lim x^2(15/x * ln(x)/x^2 -5+15/x+60/x^2) ?
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