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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
fonction méromorphe
Posté par termina123
Bonsoir
J'ai l'énoncé suivant :
Soit f, g deux fonctions entières non identiquement nulles telles que pour tout
1)Montrer que f/g se prolonge en une fonction entière
2)Montrer qu'il existe tel que
1) f/g est holomorphe sur privé de
et d'après le principe des zéros isolés comme g est holomorphe et non identiquement nulle sur
(connexe) donc S n'a pas de point d'accumulation.
Comment je peux savoir si f/g n'a pas de singularité essentielle ?
Dans ce cas, pour z0 dans S, il existe r>0 tel que le disque épointé de rayon r et de centre z0 soit inclus dans C\S, donc f/g est holomorphe sur Dr(z0)* et |f/g| 1, la singularité z0 est effaçable et on peut prolonger f/g en tout élément de S donc on peut prolonger f/g en fonction entière
2) D'après le théorème de Liouville, comme f/g est entière et bornée alors elle est constante
Bonjour,
Comment est ce qu'on sait que aucun point de S est une singularité essentielle de f/g ? Car si c'est le cas on ne peut pas dire que f/g est méromorphe sur C et je ne peux pas utiliser ce qu'il suit
Salut
Mais du coup on peut aussi dire que f/g n'a pas de poles ?
Et si f/g n'était pas bornée, j'ai cherché sur internet et on peut dire que oui cette fonction est meromorphe car c'est le quotient de deux fonctions entières non identiquement nulles mais je comprends pas pourquoi
Salut
Il y a des pôles a priori bien sûr. Mais comme f et g sont entières, leur quotient est méromorphe. Les pôles ne peuvent donc être qu'isolés(mais de toute manière, les zéros de g sont isolés puisqu'elle n'est pas identiquement nulle). Et puisqu'elle est bornée au voisinage de chacun de ces pôles, ceux-ci sont effaçables.