Tu dis :
on admet que une fonction dérivable sur I un intervalle est également continue sur I,

Et donc, je redis exactement la même chose que toi :
On admet qu'une fonction non continue ne peut pas être dérivable.

Si tu veux faire la démonstration que la fonction partie entière n'est pas dérivable, je ne sais pas exactement quelles définitions tu connais, mais tu dois pouvoir calculer la dérivée à droite (tu vas trouver 0), et la dérivée à gauche (tu vas trouver +infini).
Tu peux les calculer en revenant à la définition ( limite ( f(n+h)/h  ) quand h tend vers 0+ d'une part et quand h tend vers 0- d'autre part)
Les 2 valeurs sont différentes, et donc la fonction n'est pas dérivable.

Bonjour,
Attention, le nombre dérivé d'une fonction dérivable n'est jamais infini.
Idem pour nombre dérivé à droite ou à gauche.
Si la limite du quotient des variations est infinie, la fonction n'est pas dérivable.

Admettre qu'une fonction dérivable en 0 est continue en 0 peut se traduire par
dérivable en 0 continue en 0.
La contraposée est :
Non continue en 0 non dérivable en 0