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fonction numérique

Posté par
pppa
23-06-15 à 20:14

Bonjour

j'ai besoin d'aide pour une partie de l'exercice suivant :

On donne la fonction numérique f d'une variable réelle x définie par :

f(x) = \dfrac{3x^2-x-2}{x^2-x-2}

1a) Etudier la fonction f et représenter cette fonction par une courbe () dans le plan affine rapporté à un repère orthonormé (O;;)
   FAIT

1b) Utiliser le graphique pour donner le nombre de solutions dans de l"équation d'inconnue x et de paramètre  réel m : (3-m)x² + (m-1)x + 2(m-1) = 0

C'est la question 1b pour laquelle j'ai besoin de conseil.

Je note que f(x) = 0 lorsque son numérateur est nul, ce qui correspond à l'expression de l'équation  paramétrique pour m = 0 ; les solutions sont alors les valeurs qui rendent f(x) = 0.

Je crois constater que pour m = , l'équation paramétrique prend une expression dont le nombre de solutions est/serait égal au nombre de points d'intersections de la droite d'équation y = avec la courbe ()....mais alors si c'est ça...je n'arrive pas du tout à m'expliquer comment et pourquoi.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
gbstsulp
re : fonction numérique 23-06-15 à 20:30

l'eq à résoudre peut s'écrire f(x)=m
(il suffit de développer et de redistribuer suivant m)

Posté par
gbstsulp
re : fonction numérique 23-06-15 à 20:40

pour x²-x-2 non nul,évidemment

Posté par
pppa
re : fonction numérique 23-06-15 à 23:18

Merci!

Posté par
pppa
re : fonction numérique 24-06-15 à 13:56

Rebonjour

il y a une suite, j'ai avancé, mais je bloque sur la dernière question.

Voici l'énoncé de la 2ème partie :

pour cette question, c'est la plan complexe qui est considéré.
1/ Montrer que les points distincts M1 et M2 communs à () et à (Dm) (Dm: la droite d'équation y = m ; m) ont pour affixe :
z1 = x1+im

z2 = x2+im,

x1 et x2 étant les racines de l'équation paramétrique mentionnée dans la première partie ; on suppose x2 < x1.

FAIT

2/ Pour chaque valeur convenable de m, on considère la transformation ponctuelle Tm du plan complexe associée à l'application hm de dans définie par :
hm(z) = az + b (a ; b), et telle que :
Tm(A) = A
Tm(M1) = M2,

A est le point d'affixe -i

a/ exprmer le coefficient a en fonction de m, x1 et x2.

Je trouve : a = \dfrac{x_2 + im + i}{x_1 + im + i}.

b/Existe-t-il une valeur de m telle que Tm soit une homothétie ponctuelle ?

             ------------------------------------------------

C'est pour la question b que j'ai besoin de votre aide.

Je sais écrire une homothétie sous forme de son écriture complexe, à condition de connaître son centre et son rapport.
Ici, je ne comprends pas l'énoncé, du moins je le trouve imprécis.
A étant invariant par Tm, je suppose que c'est le centre le l'homothétie à étudier ?

Si j'appelle le rapport de l'homothétie,alors d'après l"énoncé, alors :

z_2 - z_A = \mu.(z_1 - z_a), soit x_2 + im + i = \mu.(x_1 + im + i), mais écrit comme ça, j'ai l'impression que toute valeur de m conviendrait, donc je ne réponds pas à a question. Il doit y avoir une subtilité qui m'échappe. Merci de m'aider à la trouver.

Merci par avance

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 24-06-15 à 14:55

Bonjour
en clair, pour que ce soit une homothétie, il faut et suffit que a soit un réel, non ?

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 24-06-15 à 14:56

et tu peux remplacer x1 et x2 par les valeurs obtenues dans la partie 1....

Posté par
pppa
re : fonction numérique 24-06-15 à 18:45

>> Lafol

Si je t'ai bien compris, il faut résoudre l'équation paramétrique de la partie 1, et reporter les valeurs solutions réelles (dépendant de m) dans l'expression de a que j'ai trouvée, puis rendre nulles les parties imaginaires du numérateur et du dénominateur de a ?

L'équation paramétrique admet 2 solutions réelles distinctes pour a < 1 ou a > 25/9  (cohérent avec le graphique et la partie 1).
Dans ces conditions on a(urait)

x_1 =\dfrac{1-m+3\sqrt{(m-1).(m-\dfrac{25}{9})}}{2.(3-m)}


x_2 =\dfrac{1-m-3\sqrt{(m-1).(m-\dfrac{25}{9})}}{2.(3-m)}

Avant de partir dans des calculs élaborés, je préfère demander si c'est la bonne méthode.

Merci par avance

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 24-06-15 à 21:45

Citation :
rendre nulles les parties imaginaires du numérateur et du dénominateur de a ?


certainement pas !

écrire que a est réel, c'est à dire au choix : Im(a) = 0, a = \bar{a}, arg(a) = k\pi

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 24-06-15 à 21:48

remarque : 3\sqrt{(m-1).(m-\dfrac{25}{9})}= \sqrt{9(m-1).(m-\dfrac{25}{9})}=\sqrt{(m-1)(9m-25)}

Posté par
pppa
re : fonction numérique 25-06-15 à 00:11

>> Lafol

Merci pour ces éléments de réponse.

Je pense que le plus simple est de chercher la/les valeur(s) de m telle(s) que  la partie imaginaire de a soit nulle, calcul que je fais après que j'ai multiplié numérateur et dénominateur de a par l'expression conjuguée du dénominateur de a ; x1 et x2 étant différents, après développements je trouve Im(a) = 0 pour m = -1.

Donc je résume pour être sûr que j'ai bien compris : la transformation Tm associée à l'application hm s'écrit ici : z_2 = h_m(z_1) = az_1 + b.

S'agissant d'une homothétie de centre A (point invariant par Tm) d'affixe -i, b est nul (car homothétie), son écriture complexe est ici :

z_2 + i = a.(z_1 + i) ; a étant le rapport d'homothétie, il est réel, ce qui est le cas pour m = -1.

Right? Or not ?

Je me pose la question car je n'ai as eu besoin - dans mon raisonnement  - de remplacer x1 et x2 par leurs valeurs exprimées avec m.

Merci de me dire

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 25-06-15 à 16:51

a = \dfrac{x_2 + im + i}{x_1 + im + i}= \dfrac{(x_2 + im + i)(x_1 - im - i)}{x_1^2 + (m+1)^2} = \dfrac{x_1x_2+(m+1)^2 + i(m+1)(x_1 - x_2)}{x_1^2+(m+1)^2}

a est donc réel lorsque m = -1 (avec x_i non nul....) ou lorsque x_1 = x_2, c'est à dire discriminant nul c'est à dire m = 1 ou 25/9 (ce qui se voyait dès le départ .... si x_1 = x_2, a = 1 !)

Posté par
lafol Moderateur
re : fonction numérique 25-06-15 à 17:00

je viens de relire l'énoncé tout là haut et je vois que M1 et M2 donc x1 et x2 sont supposés distincts ...
ne reste donc que m =-1

Posté par
pppa
re : fonction numérique 25-06-15 à 17:12

Oui, x1 x2  

Citation :
on suppose x2 < x1.


En  tout cas c'est très gentil d'être intervenue dans le sujet et de m'avoir guidé/confirmé de façon bien détaillée.

Merci bcp  



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