Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonction numerique, dérivée et limite
Bonjour à tous,
je prepare ma prochaine interro et je fais un exo pour m'entrainer, mais j'aimerais avoir des éléments de corrigé.
On pose n appartient N* et x appartient a R
fn(x) = 1 + x + exp(x)/n
1/ montrer que l'equation fn(x)= 0 possède une solution unique dans R.
Dans toute la suite de l'exo , on pose xn cette solution
=>je calcule la dérivée, mais puis-je appliquer le th de la bijection ??
2/ Montrer que pour tout n appartenant à N*, on a -2< xn <-1 puis que la suite (xn)n est convergente vers -1
3/ Montrer que xn= -1 - 1/(e*n) + o(1/n)
4/ On pose pour tout entier n appartenat à N*
yn = xn+1+1/(e*n)
montrer que yn est equivalent à yn en + l'infini ) 1/(en)^2 puis que
xn = -1-1/(en)+1/(en)^2+ O(1/n^2)
Je vais continuer a le faire de mon coté, mais j'aimerais bien pouvoir comparer le resultat, c'est pourquoi je remercie toute personne prenant le temps de me repondre.
Merci
Bonsoir mat671
Pour la 1), c'est inutile de dériver.
il suffit simplement de remarquer que la fonction est strictement croissante (car somme de fonctions strictement croissantes).
Par ailleurs, les limites respectives en -
et + sont - et +.
Ainsi, comme f est continue tu peux conclure par le théorème de la bijection.
Pour la 2), il faut calculer f(-1) et f(-2) et montrer qu'ils sont de signe opposés.
Pour montrer que la suite est convergente il suffit alors de montrer qu'elle est monotone et elle sera convergente (car elle est bornée).
Pour cela, calcule .
En ce qui concerne le calcul de la limite de la suite, fait tendre n vers l'infini dans l'égalité .
Kaiser
merci pour ta réponse kaiser, j'ai juste encore besoin de quelques precisions :
Pour prouver la convergence , je fais f(n+1)(xn) - f(n)(xn) < 0 , donc la suite est decroissante minoree par 1 = convergente, c'est ca ?
Une suggestion pour les questions 3 et 4 ?
Merci encore pour ton aide
Elle n'est sûrement pas décroissante, ni minorée par 1.
D'abord, la suite est comprise entre -2 et -1.
De plus, si cette suite est monotone, elle ne peut être que croissant (caér sa limite doit être -1).
En fait, ce que je te proposait de calculer, c'était et de montrer que c'est négatif.
Ainsi, on aura montrer que et comme
est croissante, on aura l'inégalité
, d'où la croissance de la suite, et comme la suite est méjorée, elle converge.
Pour la 3), il suffit d'écrire que
Ainsi, on aura
or la suite tend vers -1, donc par continuité de l'exponentielle, on a tend vers
, d'où
.
Je te laisse continuer cette question tout(e) seul(e).
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac