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Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par philoux (invité) 07-07-05 à 13:17

Bonjour,

Je découvre la fonction Oméga (ou W de Lambert) et je voulais savoir s'il est possible d'exprimer la dérivée W'(x) à l'aide de W ou de fonctions simples ?

Par exemple, si j'ai :

y = -1/2 + W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ]

Comment puis-je connaître la pente de la tangente au point d'abscisse 1/2 ?
Ca doit être une histoire de dérivée de fonction inverse, mais en revenant à la définition de W, je sèche...

Sur la courbe, si elle est juste, je crois deviner y'(1/2)=-1

Merci pour votre aide,

Philoux

Autre question, y a-t-il des utilitaires qui représentent W(x), voire W( f(x) ) ?

Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
otto
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:19

Salut,
oui la dérivée de W' est assez facile à l'exprimer, je me rappelle m'être "amusé" à celà également étant plus "jeune".
Notamment si tu me redonnes la définition de W, je peux essayer de te trouver ca.
A+

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:21

Salut otto

Brut de décoffrage, donc sans altération...

Philoux

Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
davidk
Salut philoux 07-07-05 à 13:23

Encore des maths l'été, ça c'est un bosseur !!!!
Ps : I don't know your fonction but it seems to me that is too difficult for us. Perhaps, nightmare, muriel, or otto are able to answer your problem.
Thinking of the day : "Don't forget work is the most popular taboo of modern society". D.K

Posté par
otto
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:24

salut,
ok alors on suppose W dérivable (on peut montrer qu'elle l'est)
puisque
w(z)ewp(w(z))=z on dérive à droite et à gauche et on trouve

1=w'(z)exp(w(z))+w(z)exp(w(z))w'(z)=w'(z)(exp(w(z))+z)
Notamment
w'(z)=1/[exp(w(z))+z] (on peut diviser sans trop de problème)

Sauf erreur de ma part.

A+

Posté par
Nightmare
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:24

Salut

Il suffit d'utiliser le fait que si f^{-1} est la réciproque de f , alors :
3$\rm \(f^{-1}\)'=\frac{1}{f'of^{-1}}

Donc ici on a :
3$\rm W'(x)=\frac{1}{W(x)e^{W(x)}}=\frac{1}{x}


Jord

Posté par
Nightmare
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:25

Euh oui non je suis bête , c'est la réciproque de x\to xe^{x} et non de l'exponentielle tout cours , jme disait que ça ressemblait trop au logarithme :p

Donc on a :
3$\rm \frac{d}{dx} xe^{x}=e^{x}+xe^{x}
d'ou :
3$\rm W'(x)=\frac{1}{e^{W(x)}+x}


Jord

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:26

Merci à tout les deux

ainsi qu'à davidk dont l'aide m'aura été précieuse

Philoux

Posté par
davidk
re 07-07-05 à 13:28

Extrait de la soupe à choux.
Dialogue entre "Le Glaude" et "La denrée"
En omettant les didascalies locales :
"-Prends donc ce canon ma vieille denrée, avec ça, tu seras la tete de toutes les tetes
-oh crénon dé diou, je man va les remplacer à mi tout seu, ya que des bredignots au gouvernement"
Je vous laisse méditer.

Posté par
Nightmare
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:29



Avec ça tu arrives à exprimer la pente de la tangente non ?


jord

Posté par
davidk
re 07-07-05 à 13:34

Oui, c'est une démarche ottoMATIQUE

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:39

>NM

Je bloque sur ta démo 13:25 :

de:
d/dx (xexp(x))= (x+1)exp(x)

et de:
(f-1)'= 1/(f'of-1)

Comment arriver à :

W'(x) = 1/(x+exp( W(x) ) ?

Je trouve 1/( (W(x)+1)exp(W(x) )

Où est mon erreur ?

Merci

Philoux

Posté par
davidk
aieaie l orage gronde 07-07-05 à 13:50

Petit passage lyrique :
"O toi Zeus tout puissant, par dessus le mont Olympe et par delà les Pyramides de Kephren et Mykérinos
"Redonne nous un ciel clément
"Notre dévotion à tes pieds
'Au delà des mots et des syllabes
"T'es sincère
"Redonne nous un verger vivifiant, à écorce drainé et fruits gorgeant de sucre
Redonne nous une Terre fluide à nutriments solides et a couleur perfusée de soleil"

Posté par
otto
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:52

"Où est mon erreur ?"

Tu n'as pas fait d'erreurs, mais il faut que tu te rappelles que
w(z)exp(w(z))=z, donc tu peux simplifier ton résultat.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 13:55

>otto 13:52



Bien sûr : Oh la honte.......

Merci

Philoux

Posté par
lyonnais
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 14:02

t'inquiète pas philoux ... je connais ça aussi  

Posté par
Nightmare
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 14:04

Je crois que davidk a pété un plomb mdr

Posté par
davidk
07-07-05 à 14:31

Nightmare : me no comprendo ce que toi tu dis moi

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 14:43

>NM 13:29

En utilisant :

f = (g o h)(x) => f ' = g'[h(x)] h'(x)

avec y = -1/2 - W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ]

en posant h(x) = (-x-1/2)exp(-x-1/2) => h'(x)= (x-1/2)exp(-x-1/2)

y' = - ( W( h(x) ) )' = -( h'(x)/(exp( W[ h(x) ] )+h(x)) )

y' = (-x+1/2)exp(-x-1/2)/(exp( W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ] ) - (x+1/2)exp(-x-1/2) )

Or en remplaçant x par 1/2 j'ai y'=0 qui semble être faux

Voyez-vous l'erreur ?

Philoux

Posté par
Nightmare
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 15:02

Hum je ne vois pas d'erreur , peut être qu'elle vient du graphique non ?


Jord

PS : Je t'ai envoyé un mail

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 16:40

>davidk

"O toi Zeus tout puissant, par dessus le mont Olympe et par delà les Pyramides de Kephren et Mykérinos
"Redonne nous un ciel clément
"Notre dévotion à tes pieds
'Au delà des mots et des syllabes
"T'es sincère
"Redonne nous un verger vivifiant, à écorce drainé et fruits gorgeant de sucre
Redonne nous une Terre fluide à nutriments solides et a couleur perfusée de soleil"


Je pense que tu es prêt pour lire la Doctrine Secrète De l'Anahuac ( Samaël Aun Weor ) dont je te fournis le lien pdf :



Attention à ne pas mélanger les substances hallucinogènes...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 16:50

Re

Je me permets ce ptit UP pour cette question de 13:17 qui n'a pas reçu de réponse :

Autre question, y a-t-il des utilitaires qui représentent W(x), voire W( f(x) ) ?

Merci

Philoux

Posté par
otto
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 16:58

Qu'appelles tu utilitaire?
Tu cherches un logiciel mathématique?
Attention à ce que je dis, j'enseigne au Canada, les maths n'y sont pas les mêmes visiblement.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 17:32

oui otto

un outil permettant la représentation graphique de y=W(x).

Mon souci/besoin est de représenter :

y = -1/2 + W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ]

La courbe que j'ai indiqué à 13:17, je l'ai faite point par point avec des courbes de beziers.

Comme à 14:43 je trouve un nombre dérivé en 0 qui ne semble pas correspondre à la courbe, je cherche :
- des confirmations/infirmations sur mon calcul de 14:43
- un outil de représentation des fonctions W

Merci

Philoux

Posté par
otto
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 07-07-05 à 18:19

En fait tu Maple le fait très bien, c'est la fonction LambertW il me semble.
Pour éviter les longues commandes, je te propose:
restart:
W:=LambertW:

Et là tout va bien
A+

Posté par
davidk
re 07-07-05 à 18:26

@philoux :
Chanson d'un oncle de 85 ans en pleine santé mentale et physique :
"Nina, nina, si tu veux, si tu veux, je te..... au milieu, au milieu"

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 09:46

Bonjour,
pour information, les pages jointes donnent des développements en série et des formules de récurrence pour les calculs de la fonction W(X) de Lambert
Premièrement pour X > 0 :



Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 09:51

Deuxièmement, pour X < 0 :


Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 09:52

Merci JJa pour ces précisions.

Connais-tu un freeware (pas maple) qui permettrait des représentation graphiques de W(x) ou W( f(x) ) ?

Merci

Philoux

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 09:56

Et un exemple d'application à la résolution d'une équation :


Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 09:58

>JJa

Ton graphe 9:52 fournit des y < -1.

J'avais cru comprendre que W(x) n'existait que pour x>-1/e et y>-1 ?

Autre question de béotien :

Comment est-on sûr que les sommes des formules de récurrences convergent ?

Merci

Philoux

Posté par
davidk
re 08-07-05 à 10:07

Le blog à derby :
***

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:09

Pour les représentations graphiques, on peut évidemment utiliser des logiciels "lourds" comme MAPLE, MATHEMATICA, etc...
Mais il y a une méthode bien plus simple, en utilisant un logiciel tout simple de tracé de fonctions élémentaires. On lui demande de tracer y(x) = x*exp(x). Il porte donc les x en abscisses et les y en ordonnées. On copie ce graphe et on lui fait faire une rotation d'un quart de tour et symétrie horizontale, de telle sorte que les x soient maintenant en ordonnées et les y en abscisses.
On obtient ainsi le tracé de la fonction W(X) de Lambert avec X=y en abscisses et W=x en ordonnées : la relation X=W*exp(W) est bien satisfaite.

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:18

La fonction W de Lambert est multiforme.
On distingue, d'une part la fonction W de Lambert au sens traditionnel qui est parfois notée W_0 et d'autre part la branche sur laquelle W < -1 : cette fonction moins connue est notée W_-1 (-1 en indice).
Lorsqu'on utilise la fonction de Lambert, il ne faut avoir à l'esprit qu'elle est multiforme, si non on risque de ne pas trouver toutes les solutions.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:20

>JJa 10:09

Ok pour W(x)

Mais si je veux représenter W( f(x) ) ?

Par exemple, sais-tu me représenter :

y = -1/2 + W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ]

Merci à l'avance,

Philoux

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:29

En ce qui concerne la convergence des formules, les domaines ont été indiqués. Les preuves sont ardues (je n'ai pas de référence biblio sous la main).
Il convient de signaler que certaines des formules indiquées ont une convergence très lente et qu'il faut parfois (heureusement pas toujours) des milliers, voire des centaines de miliers de termes, pour obtenir une précision de calcul satisfaisante. Mais on sort là de la théorie pour passer aux questions pratiques de calcul numérique et aux méthodes de test de convergence et de précision dans les calcul numériques des séries.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:31

>JJa

Faut-il que je symétrise la partie rouge du graphe :

y = ((-x-1/2)exp(-x-1/2))exp((-x-1/2)exp(-x-1/2)) ?

Pourquoi pas la partie verte ?

Philoux

Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:39

Réponse à la question concernant le tracé de :
y = -1/2 + W( (-x-1/2)exp(-x-1/2) )
donc y+1/2 = W( (-x-1/2)exp(-x-1/2) )
y+1/2 = W(X)  en posant X = (-x-1/2)exp(-x-1/2)
donc (-x-1/2) = W(X)
ce qui entraine y+1/2 = -x-1/2
y = -x-1
qui ne présente aucune difficulté pour être tracée.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:48

>JJa



erreur de ma part :

y = -1/2 - W[ (-x-1/2)exp(-x-1/2) ]

mais je ne veux pas de la solution y=x, je cherche l'autre solution de (-2y-1)exp(-y)=(-2x-1)exp(-x)

Si tu veux l'origine de cette interrogation, voici le lien : recherche corrigé bac sti 2005 math

Merci

Philoux

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:49

Attention, la méthode de tracé que j'avais indiquée ne marche d'une façon directe que si on veut tracer W(x) et non pas W(x*exp(x)).
Sur votre tacé, vous n'avez pas x en abscisses, mais vous avez (-x-1/2)exp(-x-1/2).
Pour répondre à votre question concernant la branche à utiliser, lorsque rien n'est précisé dans l'énoncé du problème, c'est qu'il s'agit de la fonction W de Lambert au sens habituel, c'est à dire seulement la branche que vous avez tracée en vert. (mais ici vous ne pouvez pas l'utiliser directement comme je l'ai souligné plus haut).
La solution est bien plus simple que cela, puisque la relation se réduit à une relation linéaire dans ce cas particulier.

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:51

post croisés JJa

10:48

Philoux

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 10:52

Nos réponses se croisent, ce qui les rend peu compréhensibles.
J'arrète donc cet échange pour un certain temps et je rependrai cela peut-être en fin de journée.

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 17:05

En résumé, voilà la construction graphique de W(X) :



Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 17:20

Pour construire y(x) = -1/2 - W( (-x-1/2)exp(-x-1/2) ) , c'est plus délicat. En effet, si l'on considère que W est la fonction de Lambert selon sa définition standard (c'est à dire non multiforme), il n'y a qu'une solution qui est y(x) = x.
Par contre, si l'on considère les deux branches, pour -1/2<X<0 on a deux valeurs de X pour une seule valeur de W. Donc pour une valeur de y, on aura deux X différents, l'un conduisant à la solution triviale y(x) = x, l'autre à une relation différente qui résulte de W_0(X)=W_-1(X), comme il apparait sur la figure.
La construction graphique à partir de la fonction X=(-x-1/2)exp(-x-1/2) est représentée sur la figure jointe.
(en espérant n'avoir pas fait d'erreur, car on s'y perd facilement dans les inversions de fonctions multiformes)


Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 17:30

Je m'apperçois déjà que je n'ai pas mis le bon sens des flèches indicatrices de l'ordre de la construction graphique. Le dessin corrigé est :


Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par philoux (invité)re : Fonction Oméga ou W de Lambert 08-07-05 à 17:30

Ok merci JJa

J'ai préféré te laisser finir avant d'intervenir

Tu me rassures, je trouvais ceci à 13:17 hier de ce même post
alors que la démo de 14:43 hier me donnais 0 pour f'(1/2)

Vois-tu l'erreur dans le calcul de f'(x) ?

par ailleurs, ta branche bleue ressemble à un arc d'hyperbole d'une fonction homographique : y=(x+k)/(2x+1); c'est une ressemblance ou ça peut se démontrer ?

Merci

Philoux

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 09-07-05 à 11:07

:

Fonction Oméga ou W de Lambert

Posté par
JJa
re : Fonction Oméga ou W de Lambert 09-07-05 à 11:10

...

Fonction Oméga ou W de Lambert



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