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Fonction paire - impaire et valeur absolue
Bonjour à tous !
Ca fait plusieurs jours que j'essaie de faire cette exercices mais je n'y arrive pas!
Merci de m'aider! La première question de l'exercice 1 j'ai réussi à faire, mais le reste je n'y comprend rien!
Voici l'exercice!
Intuitivement, on a admis que « si une fonction est paire sur R et si elle est croissante sur [0 ; + ∞ [ alors elle est décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] » et que « si une fonction est impaire sur R et si elle est croissante sur [ 0 ; + ∞[ alors elle est croissante sur ] - ∞ ; 0] »
Démontrer ce résultat sans utiliser de conditions géométriques à travers ces exercices
Pour vous aider :
Valeur absolue : on rappelle que pour tout x de R, la valeur absolue de x notée /x/ représente la distance à l'origine du nombre x, ainsi /-3/ = 3 et /3/ = 3 autrement dit, il existe deux nombres tel que la distance à l'origine soit 3, ce sont les nombres opposés 3 et -3.
DEFINITION : Pour tout x de R, /x/ = x si x est positif et /x/ = -x si x est négatif /-3/ = -(-3) = 3 et /3/ = 3
PROPRIETES :
•Pour tout x de R, /x/ ≥ 0
[démonstration : en effet si x est positif, /x/ = x ≥ 0 et si x est négatif, -x est positif et on a bien /x/ = -x ≥ 0 ]
•Pour tout x de, /x/ = /-x/
[démonstration : Si x > 0
/x/ = x
/-x/ = -/-x/
= x
Exercice 1
1°) Si on a a ≤ b ≤ 0 , comment sont rangés les nombres -a, -b, et 0 ?
2°) Soit f une fonction définie sur R.
a) Démontrer que si f est une fonction paire et croissante sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [, alors f est décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
b) Démontrer que si f est une fonction impaire et croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞ [, alors f est croissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Exercice 2
On considère la fonction f définie par :
f(x) = x² - 9 ÷ │x│- 3
1°) Quel est l'ensemble de définition de f?
2°) Démontrer que f est une fonction paire.
3°) a) Pour tout x positif, montrer que f(x) = x + 3.
b) Déterminer le sens de variation sur [ 0 ; 3 [ U ] 3 . + ∞ [.
4°) a) En déduire le sens de variation sur Df
b) Construire la représentation graphique de f
Cet exercice est à rendre pour lundi.
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ce serait sympa!
Merci d'avance !
patience, je vais t'aider un peu (un prof!) je prépare mon message
exercice 1 : question 2
rappelle-toi la définition d'une fonction croissante : si a<b alors f(a)< f(b) (il faut que a et b appartiennent à l'ensemble étudié).
Donc pour la question a) si a<b et si a et b appartiennent à ]-inf,0] alors -a et -b appartiennent à [0;+inf[ et d'après la question1. et -a>-b .
comme f est croissante sur [0;+inf[, on a f(-a) > f(-b).
Or comme f est paire on a f(-a)=f(a) et f(-b) = f(b), on a donc f(a)>f(b).
a<b implique donc f(a)>f(b) si a et b sont négatifs.
Donc f est décroissante sur ]-inf;0].
tu procèdes de la même manière pour la question b).
dans l'exercice 2, une petite question : le signe de division correspond-il à un grand trait de fraction. Dans ce cas, f(x) serait-il égal à (x[sup][/sup]-9)/(|x| -3)?
le carré n'est pas passé : f(x) = (x²-9)/(|x|-3)
compte tenu des questions qui te sont posées par après, je pense avoir deviné la bonne expression de f(x) = (x²-9)/(|x|-3). Dans l'exercice 2, tu dois prouver que la fonction est paire, trouver le sens de variation de f sur [0;+inf[ (privé de 3)
Applique alors les propriétés démontrées dans l'exercice 1 pour trouver le sens de variation de f sur ]-inf;0] privé de -3.
Dans l'exercice 1, on a donc pas besoin de faire un rapport avec la valeur absolue alors?
Parce que moi je viens de trouver ceci : (je fais pour la question 2)b))
Pour démontrer que f est croissant sur [0 ; +inf[
Soient a et b deux réels de l'intervalle, tels que a<b (*)
a>= 0 donc |a| = a
b> 0 donc |b| = b
L'inégalité peut donc s'écrire : 0 < |a| < |b|
Ce qui s'écrit encore f(a) < f(b).
Conclusion: pour tout nombre a et b de [0 ; +inf [, avec a < b, on a f(a) < f(b), donc la fonction est croissante sur [0 ; + inf [ car les réels ......
Et pour la question 2)a) je fais la même démarche.
Vôtre résonnement semble plus juste mais je voudrais savoir si ce que j'ai écrit est aussi une solution à ce problème.
Merci de m'avoir aider! Répondez-moi si vous pouvez !
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