bonjour,
je vais t'expliquer quelques points sans te faire l'exercice, comme ça tu pourra le résoudre et demander une vérification.
pour la parité:
une fonction est dite paire, si on a
f(-x)=f(x) pour tout x
elle est dite impaire, si
f(-x)=-f(x) pour tout x

attention, certaines fonctions ne sont ni paires, ni impaires
exemple: f(x)=x+2

pour ce qui est de la continuité:
une fonction f est dite continue en un point a, si sa limite à droite et sa limite à gauche sont égale, et valent f(a).
une fonction est continue sur un intervalle, si elle est continue en chacun des points de l'intervalle.
par exemple: ta fonction est continue sur ]0;pi[ et sur ]pi;2pi[. Mais l'est elle en pi?
tu pourras le généraliser avec le fait qu'elle soit 2pi périodique.

pour qu'elle soit dérivable, il faut qu'elle soit continue, mais ce n'est pas suffisant.
tu peux aller voir ici:
Cours sur les dérivées et la dérivation

voilà.

donc il me semble que la fonction doit etre paire et continu sur tout le long du fait qu'il n'y ait pa de x dans lexpression.

tout d'abord la parité,
non elle n'est pas paire.
on peut regarder sur l'intervalle ]-pi;pi[, vu que la fonction est 2pi périodique.
soit x dans cet intervalle.
si x est dans ]0;pi[, f(x)=1/2
si x est dans ]-pi;0[, alors x+2pi est dans ]pi;2pi[,
et f(x)=-1/2

d'où pour x dans ]-pi;pi[, f(-x)=-f(x)
(ce résultat peut être observer sur un dessin, elle est impaire, si sa courbe est symétrique par rapport à l'origine)
ainsi, f est impaire sur ]-pi;pi[. Comme f est 2pi périodique, elle est impaire sur IR.

pour la continuité, f est continue si:
quand x se "promène" sur IR, la courbe de f ne fait aucun saut (c'est ce que j'ai écrit avant, mais ici, basé sur le dessin).
plus concrètement:
f n'est pas continue en pi et 0, et plus généralement (par périodicité) en k*pi, avec k un entier relatif.
Mais peut elle être prolongée par continuité (je ne sais pas si cela est demandé)?
lim_{xpi et xf(x)=1/2
limxpi et x>pif(x)=-1/2
donc f n'est pas continue en pi, et comme elle est 2pi périodique, elle n'est pas prolongeable par continuité en pi+2kpi, avec k un entier relatif (dans Z).
de même tu peux voir que f n'est pas prolongeable par continuité en 2k*pi, avec k dans Z.
est ce que ceci te permets de comprendre?}

merci encore ,  jarive a saisir le principe !

En fait je pense que la fonction f doit etre continue sur tout lintervale [0;2Pi[  car j'ai fait une ereur dans lenoncer avec comme corection
    f(x)=1/2 sur [0;Pi[ au lieu de ]0;Pi[
et f(x)=-1/2 sur [Pi;2Pi[ et non ]pi;2Pi[

Mais on me demande ensuite d'ecrire la relation de Bessel-Parseval apres avoir justifier sa validité pour f

le pb c que en cherchant sur le net   je tombe sur le theoreme de Parseval  ou sur l'equation de Bessel      mais rien sur la relation de Bessel-Parseval !
pouvez men dire un peu plus ?

merci de votre aide pressieuse

bonjour,
non, même avec ta correction, ta fonction n'est pas continue au point que j'avais noté, car la limite à droite de pi (ou 0), n'est pas égale à f(pi) (ou f(0)).

je suis désolée, tout ce que j'ai trouvé sur les 2 nom associés, c'est une inégalité avec des fammilles orthonormales, et c'est très compliqué.
donc peut-être qu'une autre personne pourra t'aider.
désolée.