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Fonction Polynôme du second degré

Posté par
TisTis
28-10-21 à 15:40

Bonjour à tous
J'ai un devoir pour lequel je piétine un peu. Pourriez-vous m'aider ?
Voilà : j'ai une une fonction polynôme P du second degré définie sur R par :
P(x)=0,5x²-05x+c où c appartient à R.
Q° 1 : Discuter, suivant les valeurs de c, du nombre de solutions réelles de l'équation P(x) = 0.
Q°2 : Pour cette question, on suppose que c=-1
a. Résoudre dans R l'équation P(x) = 0 et l'inéquation P(x) < 0
b. Déterminer la forme canonique de P et en déduire son tableau de variations.
Q°3 : Somme des entiers :
a. Vérifier que, pour tout x appartient à R, P(x+1)-P(x) = x
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a :
P(n+1) - P(1) = 1+2+3+...+n
c. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n :
1+2+3+...+n= n(n+1)/2
--------------------
J'ai commencé par chercher le discriminant = b²-4ac
sachant que a=0,5  b=-0,5 et du coup c=0 (je ne suis pas sûr de c=0) pour faire la démonstration.
Delta = -0,5²-4x0,5x0 = 0,25  donc Delta > 0
Donc 2 solutions possible :
x1 = -b-racine carré de delta/2a
x2=-b+racine carré de delta/2a
x1 = 0
x2 = 1
L'ensemble des solutions est donc S=}0;1}
Je pense que c'est ce qu'on me demande, mais je ne vois pas comment faire pour discuter du nombre de solutions réelles. Je ne comprends pas où on veut en venir.
Est-ce que le fait de chercher l'équation avec une autre valeur de c, serait ça discuter / comme par exemple c=5
ce qui me donnerait Delta = -9,75 donc delta < 0 et
du coup  l' équation 0,5x² - 0,5x + c = 0  n' admet pas de solution dans R.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
jsvdb
re : Fonction Polynôme du second degré 28-10-21 à 15:49

Bonjour TisTis.
Tu sais qu'en fonction du signe du discriminant, le polynôme ax²+bx+c admet 0,1 ou 2 racines.

Ici, le polynôme demandé est P(x) = 0,5x^2-0,5x+c.

Son discriminant est donc \Delta = 0,25 - 2c : tu dois donc étudier le signe de \Delta.

Posté par
hekla
re : Fonction Polynôme du second degré 28-10-21 à 15:50

Bonjour

Il faut garder c et vous discuterez après

 \Delta= 0,25-2c  

maintenant  Pour quelles valeurs de c est-ce nul strictement positif, strictement négatif
Quelles conclusions en tirez-vous ?

Posté par
TisTis
re : Fonction Polynôme du second degré 29-10-21 à 14:42

Bonjour
Merci pour votre réponse. Je me creuse la tête mais c'est difficile en gardant c.
si ax²+bx+c=0 j'ai une solution -b/2a
ici 0,5x²-0,5x+c=0 alors -(-0,5)/2*0,5=0,5
Pour quelle valeur de c ; Delta =0 ?
0,25-2c=0
0,25=2c
c=0,125
Il faut donc que c soit = à 0,125 pour que Delta=0 est donc n'admet qu'une solution unique x0=-b/2a =0,5

est-ce que c'est ça ?

Du coup pour que Delta >0 ?
Forcément il faut une valeur de c>0,125 soit 0,126
Delta admet alors 2 solutions (racines)
x1=-b-racine de delta/2a    et   x2=-b+racine de delta/2a
mais je traine c que je ne connais pas
ou il faut peut-être que je prenne 0,125 ?
pour calculer les racines ?
merci de me dire

Posté par
TisTis
re : Fonction Polynôme du second degré 29-10-21 à 15:37

ReBonjour
En fait je sais que je cherche pour quelle valeur de c Delta est négatif.
J'ai trouvé c=0,125
et donc je cherche pour quelle valeur de c le Delta dévient négatif et donc que l'équation du coup n'a pas de solution.
Mais je n'arrive pas à trouver comment ???
Du coup je cherche à partir de quelle valeur de c Delta est >ou = à 0.
J'ai fait les 2 racines mais je ne vois pas comment aller + loin.
x1 = 0,5  et x2 = 0,5
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : Fonction Polynôme du second degré 29-10-21 à 15:55

Bonjour

 P(x)=0,5x^2-0.5x+c

Résolution de P(x)=0

\Delta=(-0,5)^2-4\times 0,5\times c=0,25-2c

Si c=0,125 \ \Delta=0 \quad P(x)=0 admet une solution double

Si  c<0,125 \ \Delta>0 \quad P(x)=0 admet deux solutions distinctes  

Si c>0,125 \ \Delta<0 \quad P(x)=0 n'admet pas de solution


Bien sûr, vous trainerez toujours c  sauf lorsque l'on se décidera à lui donner une valeur.

Posté par
jsvdb
re : Fonction Polynôme du second degré 29-10-21 à 15:58

 \Delta = 0,25 - 2c : c'est une fonction affine décroissante en c.
Donc \Delta = 0 si c = 0,125.
Conclusion :

c < 0,125 donne \Delta > 0 et deux racines

c = 0,125 donne \Delta = 0 et une racine double

c > 0,125 donne \Delta < 0 et pas de racines

Posté par
jsvdb
re : Fonction Polynôme du second degré 29-10-21 à 15:58

@hekla : je te laisse continuer

Posté par
TisTis
re : Fonction Polynôme du second degré 31-10-21 à 13:55

Bonjour
Merci beaucoup, je continue...

Posté par
hekla
re : Fonction Polynôme du second degré 31-10-21 à 14:28

Bonjour
On repart à la question 2



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