Bonjour,
Priam @ 14-04-2020 à 09:14
Apparemment il a détaillé les étapes à suivre, mais comme je ne comprends pas bien la démarche j'aimerais que . . .
Dsl pour ces fautes mais j'ai écrit ce message très tard et après 9 heures de maths, donc vous comprendrez...
jsvdb @ 14-04-2020 à 14:53Bonjour
jeprak34.
Effectivement, il faut connaître ce théorème :
Soit
ouvert ce
et
. Les condition suivantes sont équivalentes :
1/ Il existe
telle que g'=f
2/ Pour tout chemin
régulier, fermé et tracé dans
, on a
Application avec
![f(z) = \frac{1}{z(z-1)}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(z) = \frac{1}{z(z-1)})
sur
![\D^* = D(0,1)-\{0\}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\D^* = D(0,1)-\{0\})
.
Posons
![\tilde f(z) = \frac{1}{z-1}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\tilde f(z) = \frac{1}{z-1})
.
On a par la formule de Cauchy
![\int_\gamma \frac{\tilde f(z)}{z}=2i\pi \tilde f(0)=-2i\pi \neq 0](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_\gamma \frac{\tilde f(z)}{z}=2i\pi \tilde f(0)=-2i\pi \neq 0)
où
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\gamma)
est le cercle de centre 0 et de rayon 1/2.
Donc d'après le théorème ci-dessus, la fonction
![z\mapsto \frac{\tilde f(z)}{z} = f(z)](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?z\mapsto \frac{\tilde f(z)}{z} = f(z))
ne peut admettre de primitives sur
![\D^*](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\D^*)
Merci beaucoup pour cette réponse car vous m'avez très bien éclairée, je n'aurais pas pensé à la petite "astuce" de poser 1/(z-1) sur 1/z