salut

soit f : X --> Y et E un sous-ensemble de Y

que signifie par définition

Mais n'est pas un sous ensemble de donc je comprends pas.

et alors f : R --> R : x --> exp (x)

f est définie dans R et à valeur dans R

maintenant si éventuellement on n'atteint pas tout R ben on s'en fout ....

Bonjour
l'énoncé manque de rigueur, quand même

si vraiment f est définie comme étant l'application de IR dans IR+* qui à tout x associe exp(x), f est différente de l'application g de IR dans IR qui à tout x associe exp(x)

parler (avec ces notations) de ou de a du sens, parler de n'en a guère

tout à fait ... mais on est habitué aux énoncés approximatifs de Ramanujan ...

lafol tout dépend de la définition d'application, en tant que graphes f et g sont strictement identiques, il faut un peu modifier le vocabulaire dans ce cas, on a l'ensemble de départ et un ensemble d'arrivé

Pour revenir à l'énoncé, on écrit et et on détermine l'image directe...

Tu as raison, j'aurais dû écrire "fonction" ! je me suis pris les pieds dans le tapis !
f n'est pas une application, en fait.
la fonction g et la fonction f sont différentes (ne serait-ce que parce que g est une application alors que f n'en est pas une...)
mais dans l'énoncé originel, il était question de fonction, pas d'application

Bof, fonction est un synonyme d'application... il n'y a aucun intérêt à définir une "fonction" là où elle n'est pas définie (comme x --> 1/x)

qu'on arrive dans R ou R+* il me semble que f et g sont deux applications ... puisque tout élément de l'ensemble de départ R possède exactement une image  ...

( , x exp(x) , ) qu'on peut noter f ou exp est une application injective , non surjective

On a : f() = ₊*  et f^-1() =   donc  f(f^-1()) = ₊* .

Je me suis embrouillée encore, faudrait que je dorme plus.... Oui bien sûr ce sont les deux des applications, c'est juste que l'une est bijective et l'autre pas
Ceci dit, non, fonction et application ce n'est pas la même chose.
L'ensemble de définition d'une fonction ne coïncide pas nécessairement avec son ensemble de départ, contrairement à celui d'une application.

Bonjour,

Je m'incruste dans la conversation, ça peut éventuellement aider Ramanujan (sous réserve que ce soit juste )

Soit l'application




Dans le titre tu parles de fonction réciproque, alors que l'on parle d'image réciproque, d'où peut être cette confusion.

Il n'y a pas de raison de distinguer "application" et "fonction". Comment formaliser qu'une "fonction" associe au plus une image à chaque élément ?

Dans la théorie des ensembles ZF une fonction, ou application, est identifiée à son graphe, puisqu'au final on veut seulement que chaque élément ait une image unique. L'arrivée importent peu en fait, c'est pratique mais ça peut aussi ne pas l'être selon le contexte (mais on s'adapte )...

Quand on écrit cela signifie que et est un graphe fonctionnel, au sens où chaque élément de E est "mis en relation" avec un et un seul élément de F, i.e. et c'est suffisant !

L'ensemble de départ est E, un ensemble d'arrivé possible est F. Les notions de surjections et bijections deviennent alors relatives à l'espace d'arrivée, et non propre à la fonction considérée. Cela peut sembler bizarre mais c'est pas non plus absurde, parce qu'ainsi une fonction de dans est un cas particulier de fonction de dans par exemple (chose que je doute avec les triplets de Bourbaki).

Mais il ne s'agit que de conventions, la vraie nature des objets réside dans leurs propriétés.

*

je suis toujours surpris par la quantité de choses qui découlent d'un énoncé dénué de sens et qui n'aurait mérité aucune réponse tant qu'il était ainsi formulé !

m

L'énoncé exact (un livre de MPSI 2016 de COSTANTINI) dit juste qu'on prend la fonction exponentielle sans parler de l'espace de départ et d'arrivée.

et même l'application f de IR dans IR qui à tout x associe exp(x)....
son graphe est bien un graphe fonctionnel (pour chaque x il existe au plus un y ...) contenu dans IR x IR.

il n'y a pas un en-tête commun à une série d'exercices énonçant que sauf mention contraire toutes les fonctions sont considérées comme fonctions réelles de la variable réelle ? (ce qui signifie ni plus ni moins que ensemble de départ = ensemble d'arrivée = IR)

Je crois que je confonds Im(f) l'image de f avec son ensemble d'arrivée de la fonction.

On peut choisir l'ensemble d'arrivée que l'on veut ?

Bonjour
Tu es sérieux ?

Salut,
cocolaricotte
Il me semble que l' on peut choisir un ensemble d'arrivée comme celui-ci par exemple:



L'essentiel est de respecter la définition d'une application càd que :

Ramanujan d'autres exemples :

Soient les applications  suivantes:









Peux-tu nous dire si est injective, surjective ou bijective?

ça va t'aider à comprendre...

J'ai toujours pas compris pourquoi on définit l'exponentielle de R dans R et pas de R dans R+*.

Injectivité de f1 : pas injective car f1(-1)=f(1)=1 et -1 différent de 1.
Surjectivité de f1 : surjective car 0 a un antécédent et 1 aussi.
f1 n'est pas bijective car pas injective.

Injectivité de f2 : oui car 0 différent de 1 et f(0) différent de f(1)
Surjectivité de f2 : non car 2 n'a pas d'antécédent.
f2 n'est pas bijective car pas surjective.

Injectivité de f3 : oui car  0 différent de 1 et f(0) différent de f(1)
Surjectivité de f3 : oui car chaque image a un antécédent.
f3 est bijective.

Je vois pas le rapport avec la fonction exponentielle

ça arrive...



surjective, injective, bijective ???

Bah c'est pas possible aucun carré ne donne -6 dans R

Cette application respecte-t-elle cette définition ?

Le {-6} change rien.

La fonction carrée n'est pas injective car on peut avoir la même image pour 2 x différents.
La fonction carrée est sujective car toute image a un antécédent.
La fonction carrée n'est pas bijective.

En fait je suis pas sûr.

est-ce que -6 a un antécédent, la réponse est non, donc elle n'est pas surjective,  elle n'est pas injective comme tu l'as dit.

et pourtant c'est une application ...

Ah donc la façon de choisir notre espace d'arrivée va conditionner le fait qu'une application soit injective, surjective ?

tu prends l'application

pour avoir une bijection, il va falloir réduire l'ensemble de départ et celui d'arrivée



C'ets à traiter au cas par cas, je pense

Ah merci beaucoup j'ai compris !

L'exponentielle n'est pas bijective si on prend l'ensemble d'arrivée égal à mais elle est bijective si on le prend égal à

Oui, l'exponentielle réalise une bijection entre et ...
Une fonction est surjective ssi , donc en un certain sens, en choisissant le bon "F" on a la surjection ^^

en fait, dire qu'une application f de A vers B est surjective, c'est exactement dire que f(A) = B
(la notation Im(f) est a priori réservée au cas particulier des applications linéaires, entre espaces vectoriels, mais la conclusion reste la même : f surjective ssi Im(f) = ev d'arrivée)

je tape trop lentement

Bonjour,

Très rapidement de mon boulot : Il serait bien de pas faire à Bourbaki ce qu'il n'a jamais dit... Selon Bourbaki, l'on considère la fonction (et en aucun cas "l'application" !) définie sur par . Maintenant, si je considère que prend ses valeurs dans , cette application est une fonction (particulière) distincte de l'application qui prend ses valeurs dans . Bien entendu, l'on peut définir d'autres applications à partir de la même fonction de départ...