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Fonction réciproque

Posté par
auxanee 24-10-18 à 12:27

Bonjour à tous
J'ai un exercice de mathématiques où une question me pose problème
je dois montrer que :

(x)[0,/2]
et (x)[0,]

(x)= arcsin(2sqrt(x)/(1+x))
(x)= +arcos((1-x)/(1+x))

Je sais que pour les fonctions réciproques, sin(x) [-pi/2,pi/2]
et que cos(x)[0,pi]

Mais je ne vois pas comment justifier dans cette question

Merci par avance pour vos indications

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 12:47

Bonjour,

Pour \alpha(x), tu peux t'occuper de l'argument de l'arcsin.

Sur \mathbb{R}-\{-1\} dans quel intervalle vit \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x} ?

Je ne suis pas d'accord pour \beta(x)

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 12:49

Une correction:

Sur \mathbb{R}^+ dans quel intervalle vit \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x} ?

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 12:53

2sqrt(x)/(1+x) est définie sur R+
Je comprends pas pour
et (x) est donné dans l'énoncé

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 13:11

Occupons nous d'abord de \alpha

La fonction arcsin est définie sur [-1,1]

Pour que \alpha soit définie, il faut nécessairement que \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}\in[-1,1]

La première chose à faire est donc de définir l'image de \mathbb{R}^+ par la fonction x\mapsto \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x} (donc d'étudier ses variations).
On regarde ensuite si cette image est incluse dans [-1,1] et si oui, on détermine son image par la fonction arcsin.

Posté par
larrechre : Fonction réciproque 24-10-18 à 13:55

Bonjour,

D'ailleurs, ne pourrait-on poser x=tan^{2}(\dfrac{u}{2}) ?

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 14:03

j'ai calculé la dérivée de et donc dressé son tableau de variation
la fonction, prend bien des images entre 0 et 1, et arcsin(0)=0 et arcsin(1)=pi/2
Ce qui correspond bien au domaine que je dois trouver

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 14:08

Oui, tu peux préciser que la fonction arcsin est croissante sur [0,1] donc prend ses valeurs dazns \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]

Même travail à faire pour \beta (mais il y a une erreur dans ton énoncé.)

>>larrech oui, bien sûr, mais je ne pense pas que ce soit dans l'esprit de cet énoncé

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 18:52

Oui il y a bien une erreur dans l'énoncé :
(x)=-arcos((1-x)/(1+x))

la fonction (1-x)/(1+x) est définie sur -{-1} et prend des valeurs dans
Mais pour arcos aussi l'image ne doit pas être dans [-1,1] ?

Posté par
matheuxmatoure : Fonction réciproque 24-10-18 à 18:58

détermine son image en étudiant la fonction !

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 19:05

C'est ce que j'ai fait
la fonction est décroissante sur ] -infini, -1[ à valeur dans [0, - infini[ et décroissante sur ] -1, +infini[ à valeur dans ] +infini,0[

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 20:32

Non; si on parle de la fonction f:\,x\mapsto \dfrac{1-x}{1+x}:

f est décroissante sur ]-\infty,-1[ à valeurs dans ]-\infty,-1[ (et ce domaine est sans intérêt pour la fonction arccos)

f est décroissante sur ]-1,+\infty[ à valeurs dans ]-1,+\infty[ (et ce qui nous intéresse est la partie de l'image incluse dans [-1,1], c'est à dire l'intervalle ]-1,1]

Au fait, même avec ton signe - modifié, ton intervalle dans l'énoncé de 12h27 est encore faux. (La valeur 0 est à exclure).

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:19

Autant pour moi j'ai fait une erreur de calcul !
Mais l'image de cette fonction en -1+ est +infinie, je ne peux pas déterminer son image par la fonction arcos
et je n'obtiens pas , mais /2 car -arcos(0)=pi/2
J'obtiens 0 car l'image de 1 par la fonction est 0

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:30

Si tu as bien suivi, on cherche l'image de l'intervalle ]-1,1] par la fonction:

  f:\,x\mapsto \pi- \arccos\,x

Si -1<x\leq 1, 0\leq\arccos\,x<\pi

-\pi<-\arccos\,x\leq 0

et 0<f(x)\leq\pi

Bref \beta(x)\in ]0,\pi]

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:35

D'accord je comprends, en fait il n'y a pas besoin d'évaluer aux bornes de]-1,1] pour justifier que (x) ]0,\pi]
Je croyais qu'il fallait déterminer l'image de -1+ et 1 par la fonction arcos

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:38

Ben je ne l'ai pas écrit mais je l'ai fait (au moins mentalement)

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:41

Et donc pour faire ça, comment il faut procéder en -1+ car la limite de la fonction donne +infini ?
et comme je l'ai dit dans mon message d'avant en 1 l'image est 0, et pi-arcos(0)=pi/2
Ce qui ne donne pas la bonne valeur, comment expliquer le mauvais résultat ?

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:53

Tu confonds beaucoup de choses: avec ce qu'on a fait, on a montré que:

- le domaine de définition de la fonction  \beta est [0,+\infty[

- l'image de cet intervalle par la fonction g:\,x\mapsto \dfrac{1-x}{1+x} est l'intervalle ]-1,1]

- l'image de ]-1,1] par la fonction f:x\mapsto \pi-\arccos\,x est l'intervalle ]0,\pi]

Autrement dit l'image de [0,+\infty[ par la fonction \beta=f\circ g est l'intervalle ]0,\pi]

Posté par
auxaneere : Fonction réciproque 24-10-18 à 21:58

Je n'avais pas bien compris l'étape 3, mais maintenant je vois ce que j'ai confondu
Merci beaucoup pour vos réponses et votre aide

Posté par
lakere : Fonction réciproque 24-10-18 à 22:04

De rien auxanee

Posté par
auxaneereprésentation graphique 28-10-18 à 16:39

Bonjour,
je dois faire la représentation graphique de la fonction
f(x)=arcsin(2x/(1+x)) + arcos((1-x)/(1+x))

Avec les questions précédentes je sais que sur ]1; +infini[ la fonction vaut

J'ai comme indication que la pente de la demi tangente en 0+ et en 1- est donnée par
lim x0+ f'(x) et par lim x1- f'(x)

J'ai calculé la dérivée :
f'(x)=\frac{1-x}{sqrt(x)*(1+x)^2}*\frac{sqrt((1+x)^2)}{sqrt((1-x)^2)} +\frac{2sqrt((1+x)^2)}{(1+x)^2sqrt(x)}

Mais je n'obtiens pas les bonnes limites
Je ne sais pas si c'est un erreur dans la dérivée ou dans le calcul des limites
En 0+ je devrais trouver 0 et j'ai +infini, et en 1- je n'y arrive pas

Merci pour votre aide

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : représentation graphique 28-10-18 à 16:52

Bonsoir !
Comme x\mapsto\sqrt{\dfrac x{1+x}} n'est pas dérivable en 0 je ne suis pas étonné de voir apparaître une limite infinie.

Tu "connais une expression" sur ]1,+\infty[ et tu veux la dérivée en 0 à partir de cette expression ? Y a comme un malaise !

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : représentation graphique 28-10-18 à 17:07

Bonsoir,

Il y a fort à parier que l'argument de l'arcsinus est \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}

Ce qui ne change rien au problème en 0: la limite est bien infinie.



*** message déplacé ***

Posté par
auxaneere : représentation graphique 28-10-18 à 17:09

C'est là mon problème, en 0 je devrais avoir 0 (j'ai regarder la représentation de la courbe) donc est-ce une erreur de dérivation ?

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : représentation graphique 28-10-18 à 17:10

lake bonjour
et il est fort à parier que ceci a à voir avec Fonction réciproque
dites moi un peu....

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : représentation graphique 28-10-18 à 17:19

Bonjour malou

Ah! Je me disais bien que ça ressemblait à quelque chose que je connaissais vaguement!
Du coup, je suis bec dans l'eau: je ne sais plus trop quoi faire...

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Fonction réciproque 28-10-18 à 17:25

Couic, désinscrit!

Posté par
malou Webmasterre : Fonction réciproque 28-10-18 à 17:25

lake, tu n'y es pour rien...plus facile pour moi qui avais vu la réinscription post désinscription...j'estime que auxanee a fait du multipost, c'est tout, et il/elle est averti(e)
mais je ne voulais pas vous laisser chercher des trucs impossibles par manque d'énoncé...

Posté par
malou Webmasterre : Fonction réciproque 28-10-18 à 17:58

eh bien voilà, du coup 2e désinscription....du coup l'avertissement s'est transformé en "banni"...on va peut-être éviter un 3e sujet partiel ouvert....


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