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Fonction Réciproque

Posté par
Mathes1 21-10-20 à 19:26

A) soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle I=[-3;+[ par f(x)=x2+6x+5 et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j})
1) vérifier que f est continue et strictement croissant sur l'intervalle I
2) Tracer la courbe Cf
3) Déterminer graphiquement l'intervalle J image de l'intervalle I par la fonction f
4) Résoudre dans I les équations suivantes :
(E1):f(x)=12 ;; (E2) : f(x)= -7
5) soit y J . Montrer que l'équation f(x)=y d'inconnu x admet une solution unique dans l'intervalle I donnée par : x=-3+\sqrt{y+4}
La fonction qui , à chaque élément y de l'intervalle J , associe l'élément x=-3+\sqrt{y+4} dans I est appelée la fonction Réciproque de la fonction f et est notée f-1
. On écrit alors :
( x J) f-1 (x)=-3+\sqrt{x+4}
6) vérifier que la fonction f-1 est continue et strictement croissante sur l'intervalle J
Merci beaucoup d'avance
Réponse
1)étudiant la continuité de f ;
On a f(x)=x2+6x+5 est continue sur IR car c'est une fonction polynomial , en particulier continue évidemment sur [-3;+[ qui est inclus dans IR .
étudiant la monotonie de f
On a f est dérivable sur IR et on a pour tout x dans R :
f ' (x)=2x+6
f '(x)=0<=> 2x+6=0 <=> x= -3
D'où le tableau de variation :
Fonction Réciproque
Erreur dans le tableau désolé c'est -3 et non 3
f(-3)=-4
D'après le tableau de variation on observe que la fonction f est strictement croissant sur I=[-3;+[
2)
Fonction Réciproque
3) une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 19:26

Je suis tellement désolé ;
Bonjour à tous

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 21-10-20 à 19:34

salut

la nullité de la dérivée ne donne pas son signe ...

3/ tu cherches l'ensemble des f(x) pour x dans I : le tableau de variation et la courbe te donnent la réponse ...

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 19:41

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !

Citation :
la nullité de la dérivée ne donne pas son signe ...

Pourquoi ?
Rectification de tableau des variationsFonction Réciproque
3) I=[-3;[=[-4;+ [

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 21-10-20 à 20:08

ben ce n'est pas parce tu sais pour quels x tu as f(x) = 0 que tu sais pour quels x tu as f(x) > 0 ou f(x) < 0 ...

il faut donc justifier pourquoi tu mets + ou - dans telle ou telle case ...

3/ attention à ce que tu écris :

I = [-3, +oo[ et f(I) = [-4, +oo[

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 20:20

Bonjour
4) l'équation [E1 ] ses solutions est
S={-7;1}
L'équation [E2] n'admet pas une solution
C'est à dire xIR
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 20:31

Concernant la question 5 je ne comprends pas la question
Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 20:52

S'il vous plaît je sais que comment répondre à cette question merci beaucoup à vous

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 21-10-20 à 21:00

résous l'équation y = x^2 + 6x+ 5 d'inconnue x ...

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 21:05

Est ce que je peux résoudre le système
x=-3+\sqrt{y+4}
Et x2+6x+5=y
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 21:23


S'il vous plaît

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 21:42

Personne ??

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 21:57

Voilà mon idée
x2+6x+5=y
x(x+6)=y-5
Je bloque totalement
Je suis triste car j'ai pas trouvé la solution
Merci beaucoup de votre intérêt

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:02

salut,
x^2+6x+5-y=0
cherche x en supposant y fixe, resous l'equation du second degre

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:02

tu n'as qu'une simple équation du second degré en x et dans laquelle y est un paramètre ...

x^2 + 6x + 5 - y= 0

n'as-tu pas appris à résoudre ces équations ?

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:16

D'accord
x(x+6)=y-5
\dfrac{1}{x}×x=\dfrac{y-5}{x+6}×\dfrac{1}{x}<=>1=\dfrac{y-5}{(x+6)x}<=>
J'ai pas vu comme ce genre d'équations désolé

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:23

mais as-tu lu ce que j'ai écrit ?

carpediem @ 21-10-2020 à 22:02

tu n'as qu'une simple équation du second degré en x et dans laquelle y est un paramètre ...

x^2 + 6x + 5 - y= 0

n'as-tu pas appris à résoudre ces équations ?

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:31

C'est quoi y est un paramètre je ne comprends pas

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 22:44

Concernant la dernière question
6) f-1=-3\sqrt{x+4} est continue sur
Df-1=[-4;+ [
qui est le même intervalle J
Étudiant la monotonie de f^{-1}
f^{-1} est dérivable sur IR et on a pour tout x dans IR :
f^{-1}' (x)=(-3+\sqrt{x+4})'
=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}
Mais le problème est que lorsque je résoudre l'équation f '-1 je trouve que cette équation n'a aucun solution
Comment faire ? Merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 23:00

x^2 + 6x + 5 - y= 0
y=x2+6x+5
y=x2+6x+9-4
y+4=x2+6x+9
\sqrt{x+4}=x+3
-3+\sqrt{y+4}= x

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 23:09

oui si x et y sont dans les bons ensembles

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 21-10-20 à 23:48

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Et comment faire pour tracer le tableau de variation (proposition en 21-10-20 à 22:44)

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 22-10-20 à 08:51

ta derivee 1/(2*sqrt(x+4)) est strictement positive donc...

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 22-10-20 à 09:16

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Le signe de f'-1 est le signe de \sqrt{x+4}
Fonction Réciproque
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 22-10-20 à 09:39

non ça ne va pas tout à fait ....

x^2 + 6x + 5 = y \iff (x + 3)^2 - (4 + y) = 0  (1)

or y \ge -4 \iff y + 4 \ge 0   donc   (1)  \iff (x + 3 - \sqrt {4 + y})(x + 3 + \sqrt {4 + y}) = 0 \iff x = -3 - \sqrt {4 + y} $ ou $ x = -3 - \sqrt {4 + y}

or -3 - \sqrt {4 + y} \le -3 \le -3 + \sqrt {4 + y}

donc l'équation admet une unique solution dans l'intervalle [-3, +oo[

il faut toujours donner toutes les solutions et seulement ensuite choisir celle qui convient et répond au problème !!



le tableau de variation est faux  : la réciproque est définie sur l'intervalle [-4, +oo[

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 22-10-20 à 09:58

on peut aussi s'en tirer ainsi

pour x>=-3 et y>=-4, les propositions suivantes sont equivalentes

x^2 + 6x + 5 - y= 0
y=x2+6x+5
y=x2+6x+9-4
y+4=x2+6x+9
\sqrt{y+4}=x+3
-3+\sqrt{y+4}= x

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 22-10-20 à 10:15

certes mais il est préférable de toujours donner toutes les solutions d'une équation (résolution hors contexte purement mathématique) avant de choisir celle qui nous intéresse (solution contextualisée) car je le vois encore trop souvent (euphémisme !!) que x^2 = a \iff x = \sqrt a  malheureusement ...

et même en terminale et même en terminale experte !!

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 22-10-20 à 10:28

Bonjour à tous,
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses !
  Donc ma réponse à la question 5 est juste ?
Pour le tableau de variation
Fonction Réciproque
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 22-10-20 à 10:41

revois ton tableau et ne te mélanges pas les pinceaux entre la fonction et sa dérivée ...

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 22-10-20 à 10:57

D'accord merci beaucoup
La fonction f^{-1} est n'est pas définie sur -4
Car Df'^{-1}=]-4;+oo[
Ensuite elle s'annule en -4 et f^{-1}[-4]=-3

Posté par
carpediemre : Fonction Réciproque 22-10-20 à 11:28

si f-1(-4) = -3

et c'est la dérivée qui n'est pas définie !!!


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