Bonjour. Je m'interesse à un exercice sur des fonctions ayant des comportements spéciaux. Il y'en a une qui me pose problème.

Soit f(x)= (x^4).(2+sin(1/x) ) si x différent de 0 et f(0)=0.

a. Montrer que f est dérivable sur R. Pas de probleme ici, il suffit de montrer que le rapport f(x)/x a une limite finie quand x tend vers 0.

et f'(x)=(8x^3)+ 4x^3.sin(1/x) -x^2.cos(1/x).

b.Montrer que 0 est un extremum pour f.
La dérivée s'annule en 0. De plus 2+sin(1/x)>0 et x^4 plus grand ou égal a 0 donc f(x)>égal a 0

c.Montrer que dans tout intervalle de borne 0, f' prend a la fois des valeurs positives et des valeurs négatives. Est il possible d'utiliser les suites ici? J'ai choisi Un=1/(2nPi) et Vn=1/(2nPi+Pi/2).

d.Conclure.
f n'est monotone dans aucun intevalle de borne 0.

J'ai une autre petite question: S'il s'agissait de montrer que f' prend a la fois des valeurs positives et des valeurs négatives dans tout voisinage de 0, la démarche serait elle la meme?

Voila, j'aurai besoin d'aide pour la c si mon raisonnement n'est pas correct et une petite réponse pour ma question. Je vous remercie