Niveau Licence Maths 1e ann

Fonction Tri en classe ECS

Posté par
laupnet 30-09-17 à 23:45

Bonsoir à tous,

J'ai devant moi la correction d'un exercice que je ne comprends pas. En fait, cela se résume ainsi: on est en présence d'une équation du type:
a cos (2x) + b sin(2x)=0 avec a=1 et b=1.

La correction précise "en divisant le tout par racine carrée de (a^2+b^2) =/0
(car à la base c'est un quotient définir pour dénominateur =/0 bref), soit ici par racine carrée de 2= 2/ racine carrée de 2. On a:
((Racine de 2)/2) x sin (2x) + ((Racine de 2)/2) x cos(2x)=0 équivalent à cos (2x-(pi/4))=0 équivalent à 2x-(pi/4)=pi/2 + kpi, k appartient à Z.

En fait, ce que je ne comprends pas c'est la méthode de résolution de a cos (2x) + b sin(2x)=0 par racine carrée de (a^2+b^2) (je n'ai jamais entendu parlé de cette manière de résoudre) et ensuite comment apparaît le" équivalent à cos (2x-(pi/4))=0".

J'ai bien cherché mais ne trouve pas. Je déteste être bloqué sur exercice et passer à un autre sans le comprendre, si vous pouviez m'aider ce serait fort bien. Je vous remercie, et bonne soirée!

Posté par re : Fonction Tri en classe ECS 30-09-17 à 23:51

Bonsoir laupnet.
Et as-tu déjà entendu parler de $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ ?
Si oui, alors il suffit de remplacer $a= 2x$ et $b = \pi/4$ dont le sin et le cos sont égaux à $\sqrt 2 /2$

Posté par Fonction Tri en classe ECS Posté par laupnet 01-10-17 à 08:29

bonjour,
D'une manière un peu plus générale si $a^2+b^2\neq 0$
On résout l'équation trigonométrique $acos(x)+bsin(x)=c$

en factorisant par   $\sqrt{a^2+b^2}$ ce qui conduit à $\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}cos(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}sin(x))=c$
or tu peux remarquer que   $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1$
On peut donc considérer que     $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ sont respectivement un sinus et cosinus ou l'inverse de l'argument d'un angle   $\omega$
d'où l'équation   $cos(\omega)cos(x)+sin(\omega)sin(x)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
soit encore $cos(x-\omega)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , on voit qu'il y a des solutions que si $-1 \le\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\le 1$
,si c'est le cas , alors après tu poses $cos(\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
et tu résous $cos(x-\omega)=cos(\alpha)$ où $\omega$ et $\alpha$ sont connus.