1°)  f(x) = (2 sin x) / (2 + sin x)

  la fonction x -> sin(x) est 2pi périodique :
  Pour tout x réel,  sin(x+2pi) = sin(x)

Soit x un réel .
Formons  f(x+2pi) = (2 sin (x+2pi) ) / (2 + sin (x+2pi) )
                               =   (2 sin x ) / (2 + sin x )  
car sin(x+2pi) = sin(x)

et donc f(x+2pi) = f(x) .
Ce raisonnement étant vrai , pour tout x réel, on en déduit que f est
2 pi périodique.


2°) Déterminer les extremums de f sur l'intervalle [- pi ; pi ]

La fonction x -> f(x) est définie, continue et dérivable sur IR.
Compte tenu de la question précédente, on peut réduire son étude sur [-
pi ; pi ].

  f'(x) = [ 2 cos(x) * (2+sinx) - 2 sin(x)*cos(x) ] / (2 + sin(x)
]
        = [4 cos(x) +2cos(x)*sin(x) -2sin(x)*cos(x) ]/ [(2 + sin(x)
]
        = 4 cos(x)/(2 + sin(x) )

  Le signe de f'(x) est donc donné par celui de cos(x) sur [-pi;
+pi].
D' où les variations de f :

            -pi          -pi/2      +pi/2         + pi

f'(x)      |       -       |       +    |     -         |
f(x)       |  décroit  |    croît  |   décroît |

                            minimum    maximum

Le minimum est attaint pour x = -pi/2
  f(x) vaut alors :  -2/1 = -2

Le maximum est atteint pour x = pi/2
f(x) vaut alors :  2/3