Bonsoir,

Il y a deux points à considérer pour trouver l'ensemble de définition:
a) les arguments des deux fonctions arcsin doivent être compris entre -1 et 1
b) 1-x² doit être positif

Le b) ainsi que le premier arcsin imposent que x [-1;1]. Ensuite, il faut étudier la fonction qui est l'argument du second arcsin, c'est-à-dire 2x(1-x²). L'étude (ici ) montre qu'elle est bornée par -1 et 1. On peut donc conclure que l'ensemble de définition est [-1;1].

Cordialement.

merci, mais ensuite quand je fait l'étude, je trouve comme solution x=0 et je sais que ce n'est pas ça : si je compose par sin, puis que j'élève au carré pour utilisé sin²=1-cos(2x)  /2 , ce n'est pas possible?

0 est bien solution de cette équation (mais ce n'est pas forcément la seule). Voici ce que j'obtiens:
2arcsin(x) = arcsin(2x(1-x²))
sin(2arcsin(x)) = sin(arcsin(2x(1-x²))) pour -1 2arcsin(x) 1 donc pour x [-sin(1/2);sin(1/2)]
2sin(arcsin(x))cos(arsin(x)) = 2x(1-x²)
2x(1-x²) = 2x(1-x²)
0 = 0 (!)

Une analyse numérique montre que 2arcsin(x) = arcsin(2x(1-x²)) sur [-2/2;2/2] (ce qui est plus large que [-sin(1/2);sin(1/2)]).
Donc, a priori, les solutions sont tous les nombres de [-2/2;2/2].

Voici la solution rigoureuse (après une nuit de réflexion ):

Soit f(x) = .
On a alors: f'(x) = .
Ceci nous amène à distinguer deux cas:

1^er cas: 2x²-1 < 0 soit x ];[
On obtient: f'(x) = 0 donc f est constante sur cet intervalle.

2ème cas: 2x²-1 > 0 soit x [-1;-[ ];1]
On obtient: f'(x) = > 0 donc f est strictement croissante sur cet intervalle.

Sachant de plus que f(0) = f(-) = f() = 0, on en déduit que f est nulle seulement sur [;] (il suffit de dresser le tableau de variations) et donc que 2arcsin(x)= arcsin(2x(1-x²)) uniquement sur cet intervalle.

Bonjour,


La résolution par dérivation n'est pas
la seule;nous pouvons utiliser le fait qu'il
s'agit de fonctions réciproques.

Ajoutons donc un 3ème terme:


Ce qui conduit à :


...


Alain

salut

sans considération d'existence ou d'ensemble de définition, on a formellement à partir de la fonction f de homeya ::

f(sin(u)) = 2u - arcsin(sin2u)) = 2u - (2u)) ...

en déterminant les u tels que le soit un + on obtient f(x) = 0 ....

Bonjour à tous, ce topic date de 2012, mais j'ai eu cet exo en colle, et une astuce qui n'a pas été évoquée ici est de prendre un tel que , puis discuter du signe de la dérivée en fonction des valeurs prises par t. C'est un peu long (3 cas) mais intéressant niveau idées !
Pour ceux qui passeront sur ce topic après mois.

Cdt

n'est-ce pas ce que je dis juste au-dessus ?

De mémoire, je n'obtenais pas ça.  plutôt . J'ai lu rapidement et je n'ai pas vu votre changement de variable explicité désolé ! Dans tous les cas vous avez un 2t qui traîne en plus.