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Fonction zêta
Posté par tealc
Bonsoir à toutes et à tous.
Alors voilà, pendant que de nombreuses personnes passent leurs vacances à se reposer, se détendre, moi j'en profite pour écrire un "bouquin" (ou disons un gros rapport) sur la fonction zêta...;
Petit rappel : pour Re(s)>1.
Donc j'ouvre ce topic pour vous demander des liens, des démonstrations disons "élégantes" de certains résultats sur cette fonction... toute remarque sera intéressante!
Pour continuer, je précise que le niveau des résultats n'est pas "important" (j'ai un niveau M1 mais je peux faire des recherches en +)...
Enfin à ceux qui sont intéressés, je pourrais fournir ce que j'ai rédigé ou sur certains points seulement...
Voici les points où je cherche des éléments intéressants et élégants : équation fonctionnelle de la fonction zêta, prolongement analytique, calcul de pour p entier, irrationalité de
..;
J'admets que ce que je demande est vague et rien ne prouve que je n'ai pas travaillé dessus... mais ca fait déjà 5 ans que je suis intéréssé par cette fonction...
Merci d'avance 
et bonnes vacances à toutes et à tous!
La fonction zêta...qu'est ce que c'est que cette invention encore!
Mais bon,tu es un master donc tu devrais pas avoir de problèmes.Bonne chance pour ton livre.
Il y a des résultats à propos de la fonction zêta démontrés avec des probabilités. Je ne sais pas si ça t'intéresse.
Je connais deux noms de mathématiciens qui ont bossé là-dessus : Igor Rivin et Marc Yor. Tu dois pouvoir trouver des trucs sur Google. Attention Marc Yor est un mathématicien doué à l'extrême, il est possible que les preuves qu'il écrit soient un peu succintes.
j'en profite pour mettre un lien sur mon travail (pour l'instant très réduit car il n'y a pratiquement rien...). Je mettrai à jour de temps en temps :
Voir ce topic : La constante d Euler et la fonction Zéta de Riemann...
L'article de Igor Rivin auquel je pensais est disponible sur ArXiv. Il y en a probablement d'autres. ArXiv :
Bonjour à tous
Je ne sais pas si ça a un lien direct avec la fonction zêta de Riemann mais le rayon de convergence de la série entière est égale à
.
En effet, comme les zéros de f sont les avec k entier relatif, alors f ne s'annule pas sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon
et donc
est holomorphe sur ce disque (donc développable en série entière) au voisinage de 0 avec un rayon de convergence supérieur ou égal à
.
S'il était strictement supérieur, serait continue en
ce qui est absurde, d'où l'égalité.
Kaiser
Ah, oui autre chose, tealc !
Je ne sais pas ce qu'est une fonction bien defnine ! (preuve de la proposition 1.2)
Mais je t'en prie ! 
Je vais voir si je trouve d'autres choses intéressantes sur cette magnifique fonction zêta de Riemann ! (je suis un fan aussi ! )
Bizarre on ne trouve pas l'article de Rivin avec le lien d'ArXiv que je t'ai donné tout à l'heure. Le voici : . Il y a des propriétés asymptotiques de la fonction zêta démontrées.
En fait cet article donne des équivalents de . Ce n'est peut-être guère passionnant comme résultats.
je ne sais pas si ça t'intéresse(tu as pourtant dit que tu rechershais des résultats sur l'équation fonctionnelle).
J'ai trouvé des informations qui concernent la fonction zêta d'Hurwitz:
Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zeta sur le coté gauche -et droit- du plan complexe. Pour les nombres entiers 1\leq m \leq n\,,
\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\,
reste valable pour toutes les valeurs de s.
[modifier]
Série de Taylor
La dérivée partielle de la fonction zeta est une suite de Sheffer :
\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q)\,
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} \frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x)\,
[modifier]
j'espère que sa te sera utile.
fabuloso
de fabuloso :
--------
je ne sais pas si ça t'intéresse(tu as pourtant dit que tu rechershais des résultats sur l'équation fonctionnelle).
J'ai trouvé des informations qui concernent la fonction zêta d'Hurwitz:
Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zeta sur le coté gauche -et droit- du plan complexe. Pour les nombres entiers 1\leq m \leq n\,,
,
reste valable pour toutes les valeurs de s.
Série de Taylor
La dérivée partielle de la fonction zeta est une suite de Sheffer :
,
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
,
--------
je reposte
et effectivement ca m'intéresse (même si je priviligie la fonction zêta de Riemann que celle d'Hurwitz) donc merci
Si quelqu'un a des info sur la facon de ce fait le lien entre l'hypothese de rieman et la repartition des nombres premier sa m'interesse moi !
sinon j'imagine que tu as deja vu sa mais :
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/zeta/proprietes/pdf/fonction_zeta.pdf
Merci fabuloso, mais c'est pas exactement de sa dont je parlais.
je connait cette relation, ce qui m'interesse c'est comment on l'utilise pour approcher ' Pi(x) ' et surtous comment on exploite l'hypothese de rieman (par exemple il m'avait semblé avoir lu que en admettant l'hypothese on pouvait demontré que le Teste de primalité de Miler etait deterministe)
tous ce que j'ai trouvé c'est une vague phrase sur Wiki qui dit qu'on utilise une integral de contour faisant intervenir ln(Zeta(z)) et donc que la repartition des zeros de zeta etaient important..
Bon moi,je suis juste en troisième donc je fais juste quelques recherches pour vous aider(même si je n'y pige rien).Donc si tu me parle de In(zêta(z)) ou de répartition des zéros de zêta...mais bon,je peux quand même t'aider.
salut Ksilver! sur ce point j'ai déjà (tu peux t'en douter) pas mal de renseignements sur ca... je te conseille ce lien pour te renseigner!
Merci beaucoup tealc !
aurais tu des aussi des informations sur la facon dont on utilise l'hypothese de rieman et/ou l'hypothese de rieman Generalisé ?
sinon, j'ai bien deux trois truc sur le sujet, mais je ne pense pas avoir grand chose a t'apprendre ! (de toute facon, ma source principale etant google, je pense qu'on doit avoir lu grosso-modo les meme references !)
enfait je suis tres interesser par ton travaile !
ah si !
tu dit chercher des informations sur le prolongement analytique,
ba le prorlongement analytique de zeta sur la bance 0<Re(z)<1 sa je sais faire :
(par l'intermediaire de la fonction Eta definit comme la somme des (-1)^(k+1)/k^z, qui elle est definit pour re(z)>0 (et qui sauf erreur ce prolonge en une fonction entière)
j'imagine que c'est a partir de la qu'on peut trouver l'equation fonctionel de Zeta (celle du prolongement ! ) etant donné que c'est une relation entre Zeta(z) et Zeta(1-z) il doit forcement falloir connaitre Zeta sur cette bande pour la determiner non, mais je n'ai pas trouvé de reference sur la facon precise dont s'effectue le prolongement au plan complet.
mais peut-etre qu'on peut l'obtenir en utilisant une des expression integrales de Zeta ?
du type (a verifier :S) : integrale de 0 a +oo de t^(z-1)/(1+exp(t)) = Eta(z)*Gamma(z) si Re(Z)>0 ...
Posté par AnthonyC (invité)re : Fonction zêta
Bonjour,
Si ca peut t interresser, je m etais interresse aux zeta impaires en son temps. Mon but etait de determiner une forme close d une ou plusieurs zeta impaires. J ai echoue en revanche, je suis tombe sur quelques approximations sympathiques :
Voici donc quelques approximations :
1/ Faisant intervenir le nombre d or phi
*****************************************
(2*zeta(7)) / (zeta(5)*zeta(3)*phi)
=
0.9999535365
on frole le 1 de peu.
2/ Faisant intervenir les racines cubiques
*******************************************
evalf(13^(1/3)*z3^(1/3));
2.500092782
on frole ici le 5/2
3/ En reunissant ces deux approximations
*****************************************
evalf(2*r3+(13*z3)^(1/3));
4.49999985576
avec r3 = Zeta(7)/(Zeta(3)*Zeta(5)*cos(1/5*Pi))
Cordialement
Anthony
et sinon, quelqu'un a des info sur les valeurs de Zeta' ?
de memoir on a Zeta'(0) =-ln(2*Pi) ou -ln(2*Pi)/2 (enfin a verifier aussi...)
mais je n'ai jammais trouve quoique se soit sur la facon dont ce calcule cette valeur ni meme qu'elle sont les valeurss pour lesquelle on peut exprimer Zeta'.
Posté par Chimomo (invité)re : Fonction zêta
Il y a bien plus que l'égalité d'Euler qui relie zeta et les nombres premiers. Il existe une fonction (que je n'ai plus en tête) dites fonction de Riemann R(m) qui approche Pi(m) (le nombre de nombre premiers avec m inférieurs à m)la correction à apporter pour obtenir exactement Pi(m) est quand x parcours l'ensemble des zéros non triviaux de la fonction zeta.
re bonjour à tous!
chimomo, la fonction R en question ne serait elle pas le logarithme intégrale li ? j'ai lu un article de la recherche dans lequel ils donnaient la formule en question et je crois qu'il y avait du li...
Posté par Chimomo (invité)re : Fonction zêta
Elle fait intervenir li(m) mais elle est approche mieux que li, son expression exacte est : où
est la fonction de Möbius
Posté par Chimomo (invité)re : Fonction zêta
Merveilleux nombres premiers de J-P Delahaye. C'est un très bon bouquin mais il n'y a rien de très poussé mathématiquement (il y a des formules mais pas beacoup de démos). Je n'ai pas de sources pour des documents vraiment mathématiques