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Fonction zêta aux entiers pairs
Bonsoir à tous 
Pour ceux me connaissant déjà, je suis légèrement accro à la fonction zêta :p
Afin de donner de bons exercices d'oraux à des spé qui passeront les concours cette année, je me suis dit que j'allais leur donner , à tous ceux que j'aurai, des questions sur cette fonction zêta.
Je vais donc leur demander de démontrer que :
- En notant pour p > 1, alors
avec Bp nombre de Bernoulli
Je viens à vous pour vous demander donc des démonstrations de ce fait, si possible (c'est mieux pour les spé :p) de niveau spé.
Pour les nombres de Bernoulli, j'ai prévu de donner ce que l'ont sait sur eux (pour les intéressés, les nombres de Bernoulli peuvent être définis par : )
Pour ceux qui le souhaite, voici un exemple de démonstration ici 
(faite par moi, aux erreurs évidemment présentes près)
Merci d'avance à tous
Antoine
Salut
J'aime beaucoup tout ce qui touche aux maths, donc je suis allé voir ton site.
Tout d'abord, bravo pour ton travail, je trouve cela assez clair, en tout cas pour mon niveau de L3 ^^
Sinon, j'ai vu qu'il y a pas mal de boulot pour démontrer la première formule...tu comptes leur donner ça comme ça ?
tchuss
Bonsoir
Oui il est peut-être pas rapide, mais il est pas mauvais le pti tealc ^^
Intéressant tout ça
Salut fusionfroide et gui_tou
Tout d'abord, bravo pour ton travail, je trouve cela assez clair, en tout cas pour mon niveau de L3 ^^
Sinon, j'ai vu qu'il y a pas mal de boulot pour démontrer la première formule...tu comptes leur donner ça comme ça ?
Merci ^^c'est qu'un début de travail, j'ai fait d'autres trucs déjà (démonstration de l'irrationnalité de zêta de 3, ...) que je vais réunir plus tard.
Sinon non je compte pas leur donner comme ça, hein. Par ex, je leur donne les propriétés des polynomes et nombres de bernoulli, et je leur fait démontrer le résultat à partir de la définition de la fonction dont on calcule la série de fourier ...
il est peut-être pas rapide,
Tss c'était que le début, je vais m'entraîner :p
Qui sait, il va peut-être nous démontrer la conjecture de Riemann
Euuuuuh j'aimerais bien mais ne rêvons pas :p
Bonjour tealc,
Euh oui, très intéressant (et zoli) comme résultat sauf que c'est le temps qui risque de poser de sérieux problème. 1 heure... même en MP* ça risque d'être just. Même si tu donnes des infos sur Bernouilli et tout ce qui va avec, le temps de faire le lien, de trouver des idées exploitables... la khôlle sera finie depuis longtemps. A moins de le connaître mais dans ce cas c'est pas très intéressant...
Faut voir, doit certainement avoir une solution...
Bonjour !
Au risque de dire une bêtise, je crois qu'il y a une erreur de signe sur le pdf, dans les formules pour le calcul de zeta (celle au début, et celle à la fin) je crois que c'est au lieu de
.
De plus, il y a une confusion d'indices dans la première formule, au début du pdf, on exprime zeta(2n) en fonction de p.
Voila 
Bonjour Arkhnor
Pour la confusion, elle a déjà été corrigée (mais j'ai pas réuploadé).
Pour le je vais vérifier mais je pense que c'est bien p et non p+1... Enfin, je vais quand même regarder
ah ben je me réponds à moi même lol ... Tu as raison c'est bien p+1, je me corrige. Merci (en plus avec l'autre méthode que j'ai déjà faite, j'ai bien p+1 ... quel boulet :s)
tealc >> que sait-on sur la fonction zêta aux entier impairs ?
Quant à \zeta(3), pourquoi ne sait-on pas trouver une valeur exacte pour la limite ? Est-ce qu'il a été démontré que cela était impossible ?
Merci
resalut FF
Le cas impair est en réalité un vrai trou noir. On ne sait absolument pas calculer la valeur exacte de pour p > 0.
Apéry a montré d'une manière assez particulière que la valeur en 3 est irrationnel (que l'on appelle couramment constante d'Apéry).
En 2000, tanguy Rivoal a prouvé qu'une infinité de valeurs aux entiers impairs est irrationnel, sans pour autant pouvoir dire lesquelles sont irrationnels ...
Bref, c'est autant nébuleux que l'Hypothèse de Riemann :p
Merci tealc
Je trouve ça passionnant !
Mais pourquoi ne sait-on pas calculer ces valeurs, je veux dire pour celles qui ne sont pas irrationnelles ?
Qu'est-ce qui nous manque ?
Faut-il créer de nouvelles théories, ou des choses comme ça ?
'fin je veux dire faut-il faire appel à de nouveaux concepts, comme les mathématiciens l'ont fait lorsqu'ils se sont retrouvés face à des racines carrées de négatifs...
Disons qu'on cherche un peu partout avec des notions connues, ou pas (:p) mais on n'y arrive pas. Le plus étrange, c'est qu'on sait très bien classifier les valeurs aux entiers pairs (formule du pdf (au signe - près :p) => irrationnels) mais on ne sait (quasiment) rien sur les valeurs aux entiers impairs.
Il y a peut être une formule, on n'en sait juste rien ... pour l'instant
Bon, j'y ai repensé à cette idée de proposer des exo sur zeta. Franchement je trouve a génial!
Tu dois avoir certaienement ce livre: "Mathématiques pour l'agrégation, Analyse 2, A. Chambert-Loir & S. Fermigier, Masson". Il y a pas mal d'exos sur zeta dedans. Je pense sincèrement que s'ils sont guidés (ça peut être le cas en khôle) ils sont entièrement faisables par des spé (*?) et franchement ils sont tout sauf moches!
Ce matin, en DS, on nous a fait calculer et on a déduit
.
Je regarde si la méthode peut être étendue (ou non) au calcul de tous les zeta d'entiers pairs. En principe devrait pas y avoir de problèmes, mais il y a pas mal de polynômes symétriques élémentaires. Ca risque de rendre la généralisation compliquée.
Je te tiens au courant.
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