Niveau Maths sup

fonctions

Posté par jacko78 (invité) 12-04-05 à 18:37

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide la dessus, si quelqu'un a le temps de se pencher dessus...

Soit $\alpha$ un reel non nul.

Soit la fonction f : $f(x)=\Bigint_x^1 \frac{1}{t^\alpha} dt$
Soit la fonction g : $g(x)=\Bigint_1^x \frac{1}{t^\alpha} dt$

1) Donner Df et Dg

2) Donner une CNS sur $\alpha$ pour que f admette une limite finie en 0.

3) Donner une CNS sur $\alpha$ pour que g admette une limite finie en $+\infty$

Merci beaucoup

Posté par aicko (invité)RIEMMAN 12-04-05 à 19:17

ce sont des integrales de riemman

2) Donner une CNS sur pour que f admette une limite finie en 0.

alpha <1
puis

3) Donner une CNS sur pour que g admette une limite finie en

alpha >1

Posté par aicko (invité)re : fonctions 12-04-05 à 19:20

si alpha = 1
f(x) = -lnx =ln(1/x) g(x)= lnx

Posté par jacko78 (invité)re : fonctions 12-04-05 à 20:38

Est ce que toi meme ou quelqu'un qui a compris ta méthode pourrait me l'expliquer svp car je n'ai en fait que ta conclusion là.
Merci

Posté par re : fonctions 12-04-05 à 22:13

Bonsoir jackp78,

1^er cas : $3$\rm\alpha=1$

$4$\rm\Bigint_1^x \frac{dt}{t^1}=[ln(t)]_1^x=ln(x)-ln(1)=ln(x)$

par conséquent les limites en +oo ou en 0 de cet intégrale n'existe pas.

2^ème cas : $3$\rm\alph\neq 1$

soit x un réel strictement positif,
$4$\rm\Bigint_x^1 \frac{dt}{t^{\alpha}}=[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_x^1=\frac{1}{1-\alpha}[x^{1-\alpha}-1]$

1^er sous cas : $3$\rm\alpha < 1$
alors :
$3$\rm\blue\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\alpha}[x^{1-\alpha}-1]=\frac{1}{\alpha-1}$

et $3$\rm\red\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\alpha}[x^{1-\alpha}-1]=+\infty$

2^ème sous cas : $3$\rm\alpha > 1$
alors :
$3$\rm\blue\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\alpha}[x^{1-\alpha}-1]=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\alpha}[\frac{1}{x^{\alpha-1}}-1]=-\infty$

et $3$\rm\red\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\alpha}[x^{1-\alpha}-1]=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\alpha}[\frac{1}{x^{\alpha-1}}-1]=\frac{1}{\alpha-1}$

Conclusion :

De la partie en bleu on en déduit :
$3$\rm\fbox{f admet une limite finie en 0 \Longleftrightarrow \rm\alpha < 1$

De la partie en rouge on en déduit :
$3$\rm\fbox{ g admet une limite finie en +\infty \Longleftrightarrow \alpha > 1}$

Salut

Posté par re : fonctions 12-04-05 à 23:17

Je me demande si tu as réfléchi au problème, parce que c'est tout de même trivial et tout est calculable, c'est du niveau de terminale...

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