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Fonctions

Posté par
URBANZAK 07-07-18 à 19:07

Bonjour,
Je passe le rattrapage du bac lundi et je révise avec des exercices conseillés par mon professeur pouvez-vous me dire si mon travail est correct ?
Merci d'avance

Enoncé

Soit la fonction  f  définie sur [0 ; + ? [       par       f (t)  = 8  (e -t  -  e -2t)  et soit C sa courbe représentative dans un  repère orthogonal.
Au temps t  =  0, on  injecte un médicament à un animal.
La concentration sanguine (en mg.L-1) de la substance injectée, exprimée en heures, est
égale à f(t) .

1) Que représentent  f(0),  f (ln2),  f(1) ? En donner  la valeur exacte.

2) Déterminer la limite de  f  en +?

3) Calculer  f? (0).

4) Au bout de combien de temps la concentration retombera-t-elle à la moitié de sa valeur maximale ?  

On donnera une valeur approchée à la minute près.

Réponse en pièce jointe car je suis malheureusement très lente avec le LTX
Je m'en excuse et vous remercie pour votre compréhension

Fonctions

le tableau je veux bien, pas le reste****le reste a été supprimé***tu n'es pas obligée de l'écrire en Latex***

Posté par
carpediemre : Fonctions 07-07-18 à 19:31

Citation :
f (t)  = 8  (e -t  -  e -2t)
ne veut strictement rien dire ...

f(t) = 8(e - t - e - 2t) = 8(-3t) = -24t

...

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 07-07-18 à 19:38

pour écrire un exposant faire comme sur la calculatrice avec le ^

Posté par
URBANZAKre : Fonctions 07-07-18 à 19:56

Bonjour
Je vous remercie

Mes réponses
1) f(0), f(ln2) et f(1) représentent la concentration sanguine de la substance injectée à une date
t=0, t=ln2 et t=1
f(0) =0 ; f(ln2)=2 ; f(1) = 8(e^{-1}-e^{-2} \approx 1,86

2) lim f(t) =0
      t\approx \rightarrow+\infty

3) on cherche la dérivée de f(t)
f'(t) =8 (-e^{-t} + 2e ^{-2t}
f'(0) =8

4) la dérivée est négative sur \left[0;+\infty \right]

\left[0;+\infty \left[ \

Puis voir la photo

f(0,75) \simeq1,99
= 2h30 min
La concentration retombera à la moitié de sa valeur au bout de 2h30

Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Fonctions 07-07-18 à 20:04

Citation :
1) f(0), f(ln2) et f(1) représentent la concentration sanguine de la substance injectée à une date
t=0, t=ln2 et t=1
f(0) =0 ; f(ln2)=2 ; f(1) = 8(e^{-1}-e^{-2} \approx 1,86

plutôt : aux instants t = 0 h, t = ln 2 h et t = 1 h

et pas de valeur approchée (d'après l'énoncé) ...

2/ il faut le montrer ..

4/ idem (signe de la dérivée + inéquation à résoudre)

Posté par
ZEDMATre : Fonctions 08-07-18 à 09:38

Bonjour URBANZAK
Quelques remarques sur ce que tu as écrit....

1) dans ton tableau de variation, il est choquant (au moins pour un examinateur ) de voir une dérivée marquée négative et en dessous de trouver une fonction croissante.
La cohérence entre le signe de la dérivée sur un intervalle et le sens de variation de la fonction sur cet intervalle est... essentielle (bon sens).

2) D'autant qu'un peu plus bas tu écris :

Citation :
4) la dérivée est négative sur \left[0;+\infty \right[

ce qui est faux.

3) D'ailleurs ta fonction dérivée est fausse....
La dérivée de eu est u'eu

4) Toujours dans ton tableau, on voit figurer une valeur particulière (0,75) dont on se demande légitimement d'où elle sort. D'autres valeurs particulières apparaissent dans tes réponses sans que l'on sache comment tu les as obtenues.... Explique !

Fonctions

Posté par
URBANZAKre : Fonctions 08-07-18 à 09:52

Bonjour
Je te remercie
Par contre peux-tu m'expliquer la question 3 sur la dérivée car je n'arrive pas à me corriger avec ton explication ?
Merci d'avance

Posté par
ZEDMATre : Fonctions 08-07-18 à 10:49

Citation :
3) Calculer  f? (0).

Je suppose que tu as voulu écrire f '(0).

Citation :
3) on cherche la dérivée de f(t)
f'(t) =8 (-e^{-t} + 2e ^{-2t}
f'(0) =8


Cette dérivée est exacte (contrairement à ce que j'avais écrit un peu trop vite) et ton résultat est correct.

La dérivée de e-t est effectivement -e-t
La dérivée de e-2t est effectivement -2e-2t
et nous sommes d'accord sur l'expression de la dérivée
f '(t) = 8 (-e-t +2e-2t)
d'où f '(0) = 8(-e0+2e0)
                      = 8(-1+2) = 8

Par contre à la question suivante (la 4), ton affirmation est fausse.
Citation :
4) la dérivée est négative sur \left[0;+\infty \left[ \ \\
Puis voir la photo

Quelle photo ?
Il faut étudier le signe de la dérivée.
Donc d'abord f '(t) = 0
8 (-e-t +2e-2t)= 0
-e-t +2e-2t = 0
Il faut factoriser le premier membre (facteur commun e-t )
puis en déduire le signe de la dérivée...
L'as tu fait ?

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-07-18 à 10:58

Citation :
Il faut étudier le signe de la dérivée.
Donc d'abord f '(t) = 0
non la nullité ne donne pas le signe ... sauf avec un argument supplémentaire

on résout l'inéquation \red f'(t) \ge 0

Posté par
ZEDMATre : Fonctions 08-07-18 à 12:56

à carpediem

Citation :
non la nullité ne donne pas le signe


mais elle y contribue !

Si je détermine pour quelles valeurs de t la dérivée est nulle PUIS pour quelles valeurs de t la dérivée est strictement positive, cela ne te convient pas ? "on résout l'inéquation  f'(t) 0", sinon point de salut ...

Dans ma réponse que tu as, comme tu sais si bien le faire, gentiment épinglée, figurait l'expression "d'abord".... Non ? Après le "d'abord", il y a en général un "ensuite"

La difficulté de la question n'était-elle pas la factorisation de f'(t) (?)

URBANZAK devrait s'en préoccuper :

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-07-18 à 14:43

la difficulté de la factorisation ne vient pas du symbole = ou ... elle est intrinsèque à l'expression donnée ...

mais je suis bien d'accord je te titille un peu car en lisant attentivement le texte (donc l'articulation de la pensée) on vois bien que tu exposes deux étapes ...

cependant en tant qu'enseignant je vois quasiment 100 % des élèves "résoudre la nullité" puis balancer le signe sans le justifier (merci calculatrice qui nous permet de savoir ce qu'on doit obtenir par une démonstration et non pas par un "on voit que" qui n'est pas une preuve)

et donc j'insiste toujours sur le "que fait-on avec la dérivée ?" pour réinvestir tout ce qui a été théoriquement appris dans les années précédentes (factorisation de collège (et donc calcul littéral), de lycée (éventuellement trinome), opérations sur les inéquations, ...)

pour montrer que c'est le signe de la dérivée qui nous intéresse et que la nullité éventuelle de la dérivée est obtenue aux bornes des intervalles donnant le signe


on retrouve le même pb avec les suites quand on demande par exemple : pour quelle valeur de n (ou déterminer le plus petit entier n tel que) u_n  dépasse 10^9

et que les élèves traduisent en u_n = 10^9  au lieu de  \red u_n \ge 10^9

c'est une grave faute de sens ...

donc toujours appliquer le principe général (ici étude d'un signe <=> résoudre une inéquation

puis s'adapter à la situation : c'est l'exercice de l'intelligence :

+  est-ce que je sais résoudre ?
+ est-ce que je peux résoudre ?
+ m'adapter à à la situation et proposer une réponse convenable intellectuellement)

Posté par
carpediemre : Fonctions 08-07-18 à 14:47

quant à la difficulté de la factorisation il suffit de connaitre ses règles de collège :

les règles sur les exposants de collège (puisque l'exponentielle n'en est que la généralisation aux réels (strictement positifs))

de ce qui précède on voit alors apparaître un facteur commun

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-07-18 à 14:51

personnellement je dis(ais) toujours en parlant de la dérivée "est-ce qu'elle s'annule et quel est son signe ? " dans une même phrase
tant que tout n'était pas traité, ils savaient qu'ils n'avaient pas fini, mais pour les élèves pas très à l'aise, cela les aidait de le faire en deux temps

Posté par
ZEDMATre : Fonctions 08-07-18 à 15:04

A URBANZAK

Où en es tu ?

As tu réussi à factoriser le premier membre de l'équation -e-t +2e-2t = 0 ? (ou de l'inéquation  -e-t +2e-2t = 0

Rappel : mettre e-t en facteur....
et se souvenir "des règles sur les exposants de collège" si tu as lu les messages de Carpediem.
Allez puisque tu es en galère, je t'aide : e-2t = (e-t)²

Posté par
malou Webmasterre : Fonctions 08-07-18 à 15:16

de manière tout à fait exceptionnelle, vu que l'oral du bac est demain, je viens d'écourter le "banni" de URBANZAK pour qu'elle puisse continuer à travailler (désolée pour le modérateur qui avait banni)

Posté par
ZEDMATre : Fonctions 08-07-18 à 15:22

A malou,

Citation :
pour les élèves pas très à l'aise, cela les aidait de le faire en deux temps


Je partage ce sentiment.

Je n'ai jamais enseigné à des "élèves très à l'aise" Peut-être était-ce de ma faute (mea culpa !!) ou bien peut-être que les élèves très à l'aise.... ne venaient pas dans le type de lycée où je sévissais

Ah ! comme j'aurais aimé "résoudre la nullité".... à 100%

Posté par
URBANZAKre : Fonctions 08-07-18 à 15:30

Bonjour
Désolée comme Malou vous l'a indiqué j'ai été banni pour avoir photocopier et mis en ligne un énoncé avec un graphique au lieu de mettre en pièce jointe uniquement le graphique
J'ai pris en compte vos commentaires et vous remercie pour votre aide
Je vais retravailler cet exercice (car entre temps je suis passée à la physique) je ne manquerai pas de solliciter à nouveau votre aide
Merci a tous


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