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Fonctions à plusieurs inconnues (x et n)

Posté par
LaTermCdur
07-01-19 à 22:36

Bonsoir,

Ma soeur et moi même n'arrivons pas à terminer l'exercice que voici.

On a f_{n}(x)=x^{n}e^{-x^{2}} définie sur [0;+\infty]

On a déjà étudié les variations de f1 et les postions relatives des courbes de f1 et f3.

On a également démontré que pour tout n\geq 1, fn admettait un maximum pour x=\sqrt{\frac{n}{2}}

Voici un tableau de variation récapitulatif

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0 & &\sqrt{\frac{n}{2}} & & +\infty & \\ \\ {variation} & 0& \nearrow & Sn& \searrow & & \end{array}


Question : Pour tout n\geq 1, on nomme Sn le maximum de la fn.
On veut démontrer que pour tout n\geq 1, la courbe représentative de fn passe par S2.

Pistes : On a calculé S2= \frac{1}{e}.
J'ai ensuite pensé que l'on pourrait étudier la fonction "maximum" c'est-à-dire la fonction où x=\sqrt{\frac{n}{2}} et n varie.
On pourrait donc trouver la valeur minimale que Sn peut prendre et utiliser le théorème de la bijection

Posté par
carita
re : Fonctions à plusieurs inconnues (x et n) 07-01-19 à 22:51

bonsoir

si j'ai bien compris,
la courbe représentative de fn passe par S2.
S2 est un point de coordonnées (1;1/e)
(dire que S2=1/e est donc faux: il s'agit de son ordonnée)

montre que n, f(1) = 1/e

Posté par
Glapion Moderateur
re : Fonctions à plusieurs inconnues (x et n) 07-01-19 à 22:54

Effectivement le maximum de S2 est donc en (1 ; 1/e)
Vérifie que ces coordonnées satisfont l'équation de fn et tu en déduiras que toutes les courbes passent bien par ce point.

Posté par
carita
re : Fonctions à plusieurs inconnues (x et n) 07-01-19 à 22:58

et avec cette notation, je pense que tu devrais rectifier le Sn dans le tableau de variation :
le remplacer par l'image de (n/2).

bonsoir Glapion, je vous laisse poursuivre.

Posté par
LaTermCdur
re : Fonctions à plusieurs inconnues (x et n) 07-01-19 à 23:05

Ah merci beaucoup c'était vraiment facile (j'aurais du largement réussir)

Je n'avais pas bien lu et donc pas bien compris que Sn était un point et non pas une ordonnée.

Merci beaucoup de votre aide et bonne soirée

Posté par
cocolaricotte
re : Fonctions à plusieurs inconnues (x et n) 07-01-19 à 23:07

Bonjour,

Un peu  de rigueur ne nuit jamais.

Si une fonction f admet un maximum M pour x = m , cela veut dire que pour tout x du domaine de définition  f(x) M

avec f(m) = M

Et alors le point S de coordonnées (m ; M) est appelé le sommet de la représentation graphique de la fonction f

Ne pas confondre maximum d'une fonction (c'est un nombre) , sommet de la représentation graphique d'une fonction (c'est un point) et les coordonnées de ce point !



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