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Fonctions/Changement de variable

Posté par
sami7898 26-10-23 à 19:37

Bonsoir à tous et à toutes, je suis bloqué dès la 3ème question de cet exercice suivant :

Soit \( f(x) = 6x^4 - 5x^3 - 13x^2 - 5x + 6 \).

1. Montrer que \(0\) n'est pas une solution de l'équation \(f(x) = 0\).

f(0)=6 et donc f(0)\neq 0 donc 0 n'est pas solution de l'équation f(x)=0

2. Montrer que \(f(x)\) peut s'écrire : \(f(x) = x^2 g(x)\) où \(g\) est une fonction à déterminer.

\(f(x) = x^2(6x²-5x-13-\frac{5x}{x²}+\frac{6}{x²}) dans lequel \(g(x) = 6x²-5x-13-\frac{5x}{x²}+\frac{6}{x²}

3. Montrer que \(f(x) = 0\) si et seulement si \(g(x) = 0\).

Nous avons vu précédemment, lors de la réponse apportée à la question n°1 que 0 n'est pas solution de l'équation f(x)=0. Ainsi \(f(0)\neq 0\) implique que f(0)=0²g(0)\neq 0. Donc f(x)=0 est possible si et seulement si g(x)=0.

Mon raisonnement me parait ambiguë sur cette question car dans le cas de ma factorisation de f par x²g(x) à la question 2, f(0) donne bien 0...

4. A l'aide du changement de variables X =x + \frac{1}{x}\), en déduire les solutions de l'équation \(f(x) = 0\)

Je vous remercie d'avance pour votre aide et votre attention !

Posté par
phyelec78re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 19:58

Bonjour,

peut-être rédiger ainsi :
un produit de facteur est nul si l'un des facteurs est nul.
f(x) est le produit de 2 facteurs. Pour que f(x)=0 : il faut x^2=0 ou g(x)=0, hors on sait que le premier facteur x^2 ne vaut pas 0 car f(x) ne s'annule pas pour x=0 donc c'est le deuxième facteur g(x) qui doit valoir 0. Donc f(x)=0 si et seulement si g(x)=0.

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 20:04

Bonsoir

f(x)=  x^2 g(x)

un produit de facteurs est nul si et seulement l'un des facteurs l'est

On a vu que x^2 ne peut être nul, car on aurait alors f(0)=0.
Ce qui est contraire à ce que l'on a montré au préalable .
Il en résulte alors, que g(x)=0
Quelles sont vos questions ?

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 20:14

Ma question portait plutôt sur la manière de formaliser la réponse à la question n°3 qui était un peu décousue de ma part. Je vous remercie pour vos réponses qui m'ont bien explicité la manière de répondre à ce type de questions.

Cependant, je n'ai pas du tout réussi le changement de variables à la question n°4 après plusieurs recherches, s'il est possible d'avoir quelques indications à ce sujet.

Je vous remercie.

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 20:32

g(x)=6x^2-5x-13-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^2}

groupons différemment :

g(x)=6x^2+\dfrac{6}{x^2}-5x-\dfrac{5}{x}-13

faites apparaître x+\frac{1}{x}

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 20:53

6(x²+\frac{1}{x²})-5(x+\frac{1}{x})-13

?

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 20:55

Que vaut (x+\frac{1}{x})^2 ?

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:00

x²+2+\frac{1}{x²} ?

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:04

Continuons, on a alors x^2+\dfrac{1}{x^2}=

puis 6\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=

ensuite changement de variable

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:15

\frac{1}{x²}+x²=\frac{x^4+1}{x²}=X²

6(x²+\frac{1}{x²})=\frac{6x^4+6}{x²}=6X²

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:19

On obtient donc normalement 6X²-5X-13

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:23

Non. Vous n'avez pas tenu compte des indications.

x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:37

Effectivement, excusez-moi.
On a donc  6(x²+\frac{1}{x²})=6(x+\frac{1}{x})²-12

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:39

Maintenant, on effectue le changement de variable

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:43

Cela donne donc normalement 6(x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})-12=6X²-12

Soit g(X) = 6X²-5X-25

?

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:48

Oui, mais pourquoi écrire X X

On est donc amené à résoudre une équation du second degré g(X)=0.

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 21:57

A l'issue de la résolution de l'équation du second degré je trouve deux racines réelles X_1=\frac{5}{2} et X_2=-\frac{5}{3}. Comme f(x) est une équation bicarrée, les valeurs possibles pour x s'obtiennent par extraction de la racine carrée ?

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 22:02

Les solutions de l'équation en X sont correctes
Il vous reste à revenir en x

soit à résoudre

x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2}  ou  x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{5}{3}

Posté par
sami7898re : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 22:07

Super, je vous remercie beaucoup pour votre aide.

Bonne soirée à vous !

Posté par
heklare : Fonctions/Changement de variable 26-10-23 à 22:15

Vous ne pouviez prendre la racine carrée, car le changement de variable n'était pas X=x^2

De rien
Bonne fin de soirée


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