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Fonctions composées et dérivées

Posté par
Doucra 03-11-08 à 18:01

Bonjour à tous,

Je vous explique brièvement ma situation, je suis en terminale S et mon professeur de mathématiques nous a donné des exercices de révision en vue d'un ds commun à la rentrée.

Le gros probleme , c'est que je bloque complétement sur l'exercice 2 et 3. (J'ai réussi le 1 et le 4 )

Si vous pourriez m'aidez en m'éclairant sur ce que vous savez faire.

Merci d'avance.

L'énoncé de l'exercice : ***

édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 03-11-08 à 18:53

Déjà dans la question 1 de l'exercice 2, on peut dire il me semble que G(x) est la somme de deux fonctions dérivables sur R et que par conséquent elle est aussi dérivable sur R.

je trouve G'(x)= 2f(x)

Est ce que quelqu'un peut me dire si j'ai juste?

Merci d'avance pour vos réps...

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 03-11-08 à 22:03

Est ce que quelqu'un peut me venir en aide ?

Merci d'avance

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 03-11-08 à 22:36

Je viens de réussir l'exercice 2, j'en suis désormais au dernier exercice, l'exercice 3
Pour la première question je trouve :
1/ 1/ (F ഠ g)(0) = F(g(0))= F(tan(0))=F(0)=0

Si quelqu'un pourrait me dire si j'ai juste et m'éclairer pour la suite des question de l'exercice 3 parce que j'ai beaucoup de mal.

Merci d'avance.

Posté par
ggsore : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 09:37

Bonjour,

1) Oui c'est juste

2) Tu sais que (Fog)'=(F'og)*g'

De plus g'=tan'=1/cos²=1+tan²

Logiquement avec tout ça, tu devrais y arriver (Si ce n'est pas le cas, fais le savoir et je détaillerais un peu)

3)Je te rédige entièrement celle-là parce qu'elle n'est vraiment pas évidente:

Elle est dérivable comme le somme de fonctions dérivables sur I.

De plus (Fog)'(x)=sin3(x)
cos(x)'=-sin(x)
(-1/3)cos3(x)'=sin(x)cos2(x)=sin(x)[1-cos2(x)]

D'où

[(Fog)(x) + cos(x) + (-1/3)cos3(x)]'
=(Fog)'(x) + cos(x)' + (-1/3)cos3(x)'
=0

L'expression a une dérivée nulle donc elle est constante

Soit (Fog)(x) + cos(x) + (-1/3)cos3(x)=

Determinons la constante

Pour x=0

(Fog)=0 et cos(0)-(1/3)cos3(0)=2/3

D'où =2/3

On a alors : (Fog)(x) + cos(x) + (-1/3)cos3(x)=2/3

D'où (Fog)(x)=2/3 - cos(x) -(1/3)cos3(x)

4) et 5), aucune difficulté à présent

Posté par
ggsore : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 09:39

J'ai fait une faute à la ligne 10:

...=sin(x)[1-sin²(x)]

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 11:45

pour la question 2, sa ne ferai pas plutot ,

(Fog)'=F'(g'(x))

parce que j'ai calculé de cette façon et je n'arrive a rien pourtant j'ai utilisé le fait que g'(x)= 1+tan²(x)

Merci beacoup pour ton aide et ta considération!

Posté par
ggsore : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 14:00

Citation :
pour la question 2, sa ne ferai pas plutot ,

(Fog)'=F'(g'(x))


Non non je t'assure... C'est bien (Fog)'=(F'og)*g'

Le problème, c'est que je n'ai plus l'expression de ta fonction...

Est-ce que tu pourrais me la redonner pour que je détaille le calcul? (Je l'ai fait hier au brouillon donc je suis sur que ça fonctionne)

Citation :
Merci beacoup pour ton aide et ta considération!


Ca, ça fait plaisir, les 3/4 du temps, on a pas un mot de remerciement...

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 14:25

Voila le sujet

***

je te le donne par liens parce que je n'arrive pas à écrire les symboles mathématiques avec mon ordinateur.

Merci encore

RE édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum

Posté par
ggsore : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 15:01

Pas de problème pour moi...

Tu as:

F'(x)=\frac{x^3}{(x^2+1)^2 \times \sqrt{x^2+1}}

On a alors:

(F'og)(x)=\frac{tan^3(x)}{(tan^2(x)+1)^2 \times \sqrt{tan^2(x)+1}}

Soit encore en utilisant tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}

(F'og)(x)=\frac{\frac{sin^3(x)}{cos^3(x)}}{(tan^2(x)+1)^2 \times \sqrt{tan^2(x)+1}}

Soit encore en utilisant tan^2(x)+1=\frac{1}{cos^2(x)}


3$(F'og)(x)=\frac{\frac{sin^3(x)}{cos^3(x)}}{(\frac{1}{cos^2(x)})^2 \times \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}}=\frac{\frac{sin^3(x)}{cos^3(x)}}{\frac{1}{cos^4(x)} \times \frac{1}{cos(x)}}=\frac{\frac{sin^3(x)}{cos^3(x)}}{\frac{1}{cos^5(x)} }=\frac{sin^3(x)}{cos^3(x)} \times cos^5(x)=sin^3(x) \times cos^2(x)

Or  g'(x)=\frac{1}{cos^2(x)}

D'où  (Fog)'(x)=(F'og) \times g'(x)=sin^3(x) \times cos^2(x) \times \frac{1}{cos^2(x)}=sin^3(x)

Voilà, voilà, tu as le détail. Bonne chance

Posté par
Doucrare : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 17:33

Merci beaucoup, cela me semble assez clair je tente de terminer cet exercice et vous tiens au courant....

Posté par
ggsore : Fonctions composées et dérivées 04-11-08 à 17:39

Ca marche, bonne soirée


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