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fonctions dérivation
Bonjour, j'ai 2 petit exo sur les fonctions et dérivations qui me posent problème.
(c'est le 98 et le 92 p.64 du livre Indice Maths TermS)
EXO 98 :
Losange de périmètre minimum
1°) Soit f définie sur IR par f(x)= √ (x²+ (4a²/x²)), où a est un réel strictement positif.
Etudier le sens de variation de f et démontrer que f admet un minimum qui est atteint pour x = racine de (2a).
2°) On s'intéresse maintenant à tous les losanges d'aire donnée et égale à a.
On appelle x la longueur d'une diagonale.
a)Exprimer l'autre diagonale en fonction de x et a.
Exprimer le périmètre de ces losanges en fonction de x et a. En utilisant la question 1°), déterminer parmi tous ces losanges celui qui a le périmètre minimum.
EXO 92 :
Soit C le cercle trigonométrique et A un point du cercle. On se propose d'étudier les aires des triangles isocèles de sommet A inscrit dans le cercle C .
On choisit le repère ( O ; i ; j ) orthonormal direct avec vecteur OA = vecteur i .
Un triangle isocèle AMM ' est inscrit dans C .
A. Première méthode
Désignons par x l'abscisse commune de M et de M ' .
1°) a) Quelles sont les valeurs possibles de x ?
b)Montrer que l'aire du triangle AMM ' s'exprime en fonction de x par
A(x) = (1-x) √(1-x²).
2°) Déterminer x tel que l'aire du triangle AMM ' correspondant soit maximale.
Construire ce triangle et donner les coordonnées cartésiennes de M et de M '.
B. Deuxième méthode
Désignons par α la mesure principale de l'angle ( vecteur OA ; vecteur OM).
1°)a) Quelles sont les valeurs de possibles pour α ?
b)Déterminer les coordonnées de M en fonction de cos α et sin α.
c)Exprimer l'aire du triangle AMM ' en fonction de cos α et de sin α.
2°) Soit g la fonction définie sur [ 0 ; π ] par :
g (α ) = (1 - cos α ) sin α.
a)Démontrer que : g'(α ) = -2 (cos α - 1) (cos α + ½).
b)En déduire les variations de g.
3°) Déterminer α tel que l'aire du triangle AMM ' correspondant soit maximale. Donner les coordonnées polaires des points M et M ', sommets de ce triangle.
Va-t-on retrouver le résultat de la partie A. ?
Merci de bien vouloir m'aider. Je ne cherche pas spécialement à avoir directement les réponses, mais à m'aiguiller. Merci d'avance.
Bonne journée et bon courage !
C'est bien de ne pas faire du multipost, mais il ne faut pas non plus pécher par excès contraire.
Tes 2 exercices non rien à voir l'un avec l'autre et il est bon alors de les mettre dans 2 topics différents, sinon on est rebuté devant la longueur .
Exo 98
1°)
f(x) = V(x²+(4a²/x²))
f(x) = V((x^4+4a²)/x²)
Df x dans R*
Attention ici le piège.
Si x < 0, on a: f(x) = -(1/x).V((x^4+4a²))
Si x > 0, on a: f(x) = (1/x).V((x^4+4a²))
a)
si x < 0
f '(x) = (1/x²).V((x^4+4a²)) - (1/x).[4x³/(2V((x^4+4a²)))]
f '(x) = (1/x²).V((x^4+4a²)) - [2x²/(V((x^4+4a²)))]
f '(x) = ((x^4+4a²) - 2x^4) /(x².V((x^4+4a²)))
f '(x) = (-x^4+4a²) /(x².V((x^4+4a²)))
Le dénominateur de f '(x) est > 0 et donc f '(x) a le signe de -x^4 + 4a²
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -V(2a)[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = -V(2a)
f '(x) > 0 pour x dans ]-V(2a) ; 0[ -> f(x) est croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = -V(2a)
b)
si x > 0
f '(x) = (x^4-4a²) /(x².V((x^4+4a²)))
Le dénominateur de f '(x) est > 0 et donc f '(x) a le signe de x^4 - 4a²
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; V(2a)[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = V(2a)
f '(x) > 0 pour x dans ]V(2a) ; oo[ -> f(x) est croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = V(2a)
---
2°)
a)
Aire d'un losange = (1/2) du produit de ses diagonales.
Aire losange = a.
a = (1/2)x.L (avec L = longueur de la seconde diagonale)
L = 2a/x
Pythagore dans 1/4 du losange:
Coté² = (a/x)² + (x/2)²
C² = (a²/x²) + (x²/4)
C = V((a²/x²) + (x²/4))
Périmètre: P = 4C
P(x) = 4.V((a²/x²) + (x²/4))
P(x) = 4.V((4a²/4x²) + (x²/4))
P(x) = 2.V((4a²/x²) + x²)
P(x) = 2.f(x)
Donc P(x) est minimum pour la même valeur de x qui rend f(x) minimum (mais pour x > 0 car une longueur est positive).
P(x) est minimum pour x = V(2a)
-----
Sauf distraction. 
Je vérouille, vu que dami1 (qui n'a pas jugé utile de remercier J-P pour l'exo 98) a tout de même jugé bon de créer un nouveau topic pour reposter l'exo 92...
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