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Fonctions dérivées et étude de signe
On considère la fonction définie sur [0; 10] par f(x) = x 
(100 - x²) .
1) Dans cette question on va calculer f '(x) pour x 
[0;10[ ( on admettra que f n'est pas dérivable en 10 ).
a) Montrer que ( (100 - (x+h)²) -
(100-x)²)/h = (-2-h)/( (100- (x+h)²) -
(100-x)²) si h 
0.
b) En déduire la fonction dérivée de la fonction g définie par g(x)=
(100-x²).
c) Montrer que pour x [0 ; 10[ on a f '(x)=
(100-2x²)/( (100-x²).
2) Etudier le signe de f '(x) pour x [0
; 10[ et montrer que, sur [0 ; 10], f admet bien un maximum que l'on
précisera. Conclure.
Voilà ça sera vraiment sympa de m'aider parce que je comprends vraiment
rien.
a)
Avec V pour racine carrée.
[V(100-(x+h)²) - V(100-x²)]/h = [V(100-(x+h)²) - V(100-x²)].[V(100-(x+h)²) + V(100-x²)]/
(h.[V(100-(x+h)²) + V(100-x²)])
= [(100 - (x+h)²) - (100-x²)] / (h.[V(100-(x+h)²) + V(100-x²)])
= (100 - x² - 2hx - h² - 100 + x²) / (h.[V(100-(x+h)²) + V(100-x²)])
= (- 2hx-h²) / (h.[V(100-(x+h)²) + V(100-x²)])
= (- 2x-h) / [V(100-(x+h)²) + V(100-x²)] si f est différent de 0.
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b)
lim(h->0) [V(100-(x+h)²) - V(100-x²)]/h = lim(h->0) (- 2x-h) / [V(100-(x+h)²)
+ V(100-x²)]
lim(h->0) [V(100-(x+h)²) - V(100-x²)]/h = -2x/(2V(100-x²))
lim(h->0) [V(100-(x+h)²) - V(100-x²)]/h = -x/(V(100-x²))
la dérivée de g(x) = V(100-x²) est donc g'(x) = -x/(V(100-x²))
-----
c)
f(x) = x.V(100-x²)
f '(x) = V(100-x²) + x.[V(100-x²)]'
f '(x) = V(100-x²) + x.g'(x)
f '(x) = V(100-x²) + x. [-x/(V(100-x²))]
f '(x) = [V(100-x²).V(100-x²) -x²]/(V(100-x²))
f '(x) = (100-x²-x²)/(V(100-x²))
f '(x) = (100-2x²)/(V(100-x²))
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2)
Sur [0 ; 10[, V(100-x²) > 0 -> f '(x) a le signe de 100 - 2x² =
(10 - (V2)x).(10 + (V2)x)
Sur [0 ; 10[ , (10 + (V2)x) > 0 et donc f'(x) a le signe de 10 -
(V2)x
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 10/V2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 10/V2
f '(x) < 0 pour x dans ]10/V2 ; 10[ -> f(x) est décroissante.
Il y a donc un maximum de f(x) pour x = 10/V2, ce max vaut f(10/V2)
= (10/V2).V50 = 50.
----------
Sauf distraction.
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