Bonjour

u(x) = 1-cos(x)  est toujours positive sur R+

En posant v(x) = x - sin(x)
Comme v'(x) = u(x),  la fonction v est croisante sut R+  donc v(x) v(0)
donc v(x) 0
x-sin(x) est pos

En posant w(w) = -1 + x²/2 + cos(x)
... et on remcommence ...

Salut Gonzo

Déjà, très bonne remarque...

Du coup, une fois que tu auras démontré que pour tout x, f'(x) > 0,
tu pourras conclure que f est croissante.
Alors, il ne te reste plus qu'à étudier la limite en ... en croisant les doigts pour trouver quelque chose de positif...

Bon, donc en fait, tu ne vas avoir qu'une seule étude de signe, et le reste, ce sera des calculs de limites.

Et pour le signe de x - sin(x).... une idée ?!

deux heures plus tard...

oups... pas de limite ici, puisque qu'on se place sur [0 ; [... il faut simplement regarder la valeur prise en 0....
désolée

merci beaucoup! je pensais faire ceci également mais j'avais pas trop le courage... (pfff..) Maintenant si! Merci J'ai compris grace à vous. Je vous refait signe si je bloque quelque part...

Oui emma je me disais pourquoi ... mais j'avais compris ne t'inquiete pas

Voici le début de ma réponse pour la suite je suis un peu bloqué.

on pose v(x)= x-sinx
v'(x)= 1-cosx
Or v'(x) est toujours positif pour nimporte quel valeur de x.
De plus, comme lim de v(x) comme x-->0 est égal à 0, la fonction ne prend que des valeurs positives sur R+

Ensuite j'ai un peu du mal

Et bien... posons w(x) = -1 + x²/2 + cos x.

Alors w est dérivable sur R+ et pour tout x 0, w'(x) = x - sin(x) = v(x) 0
Donc w est croissante sur R+.
Donc pour tout x 0 , w(x) w(0).
Or w(0) = -1 + 0²/2 + cos(0)
w(0) = -1 + 1
w(0) = 0

Donc pour tout x 0 , w(x) 0

Et la même chose pour g(x) = -x + x³/6 + sin x dont la dérivée sur R+ est justement la fonction w...

@+
Emma