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fonctions du polynômes avec une racine au cube

Posté par
matheocanivez
02-10-21 à 11:01

Bonjour , je ne sais pas comment faire mon exercice , car je n'ai pas encore vu comment résoudre se calcule en classe voici l'exercice , merci d'avance pour votre temps :


p(x) =5x3-7x²+4
                      2

q°1) vérifier que 0.5 est une racine du polynôme  p(x)
q°2) pour tout réel x, on a donc :p(x)=(x-0.5) x q(x) = ax3=bx²+c .
Déterminez le polynôme q(x).
q°3)résolvez l'inéquetion p(x) 0

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:10

Bonjour, tu as fait la première question ?

(sinon n'utilise pas x à la fois pour x et pour multiplier, écris :
p(x)=(x-1/2)q(x) par exemple)
et tu dois avoir mal retranscris, je ne vois pas pourquoi q(x) vaudrait bx²+c pose plutôt q(x) = ax²+bx+c

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:16

ah oui excuser moi c'est :
q°2) pour tout réel x, on a donc :p(x)=(x-0.5) x q(x) ou q(x)= ax3=bx²+c .
Déterminez le polynôme q(x).

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:17

la première question je n'ai pas réussis sauf sur ma calculette avec une équation de degré 3 mais se n'est pas dans notre programme

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:32

Si a est solution alors p(a) = 0 donc pour la première question, il te suffit de vérifier que p(1/2) = 0, toutes les calculettes savent faire ça et tu peux même le faire à la main.

Ta question 2) est toujours aussi mal transcrite. q(x)= ax3=bx²+c avec deux signes = n'a aucun sens.

le simple p(x)=(x-0.5)q(x) Déterminez le polynôme q(x) serait plus logique.

Posté par
Leile
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:33

bonjour,

en attendant le retour de Glapion, à qui je rendrai la main :

question 1 : une racine, c'est une valeur de x qui annule le polynôme.
quand x=1/2,   que vaut P(x) ?

Posté par
Leile
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:34

hello Glapion, désolée, je te croyais parti.
Bonne journée

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:42

encore désolé j'ai mit x pour fois alors que je devais mettre *

p(x)=(x-0.5) * q(x) ou q(x)= ax3+bx²+c .

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:44

non, q(x) est du second degré donc q(x)= ax²+bx +c

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:46

je n'ai pas compris 😅

Posté par
Leile
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:47

Glapion, il me semble que 1/2 n'est pas racine de p(x) tel que donné par matheocanivez.. je me trompe ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:50

ha oui je n'avais pas vérifié, merci Leile.

effectivement matheocanivez tu as mal dû écrire ta fonction,

avec p(x) =5x3-7x²/2 +4 on a pas p(1/2) = 0
(on trouve 15/4)

Posté par
Leile
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:51

je vous laisse. Bonne journée !

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:53

la fonction est p(x)=5x3-7/2x²+1/4 voila la fonction , et d'accord veuillez m'excuser mais j'ai un peu de mal à mettre les racines et les division sur pc 😅

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 11:59

oui là ça marche.
Donc tu as vérifié que p(1/2) = 0 ?

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:04

oui j'ai vérifié j'obtiens bien p(1/2)=0

Je pense que c'est plus la  q°)2 que je vais avoir du mal

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:08

Donc maintenant on sait que p(1/2) = 0 donc on peut mettre (x-1/2) en facteur et poser :

5x3-7/2x²+1/4 = (x-1/2)(ax²+bx+c)

il faut trouver a;b;c, tu peux par exemple développer la partie droite de l'égalité et dire que les coefficient du polynôme que tu vas trouver doivent être les mêmes que ceux de p(x).

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:13

je n'ai pas compris je dois développer
  (ax²+bx+c) avec les coefficients de p(x)?

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:17

oui, développer (x-1/2)(ax²+bx+c)

et comme on doit trouver 5x3-7/2x²+1/4 et que l'égalité doit être vraie pour tout x,
on écrit que chaque coefficient des deux polynômes doivent être égaux

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:20

ah d'accord un peu complexe

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:22

mais sachant que je dois développer (x-1/2)(ax²+bx+c) avec les coefficients de p(x) le 5x3 ne sera pas utilisé ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:23

tu peux aussi donner des valeurs particulières à x. Par exemple x = 0 te donne très vite la valeur de c

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:26

Citation :
mais sachant que je dois développer (x-1/2)(ax²+bx+c) avec les coefficients de p(x) le 5x3 ne sera pas utilisé ?


ben si, en faisant le produit (x-1/2)(ax²+bx+c) le coefficient de x3 sera le résultat du produit de x par ax² donc il sera ax3 qui doit être identique à 5x3

on en déduit que a = 5

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:29

ah d'accord merci je comprend mieux

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:32

donc si j'ai compris (x-1/2)(ax²+bx+c) =
(x-1/2)(-7/2x²=1/4x+0) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:37

Citation :
(x-1/2)(ax²+bx+c) =
(x-1/2)(-7/2x²=1/4x+0) ?


n'importe quoi.

(x-1/2)(ax²+bx+c) = 5x3-7/2x²+1/4

tu dois développer (x-1/2)(ax²+bx+c) et égaler les coefficients.

qu'est-ce que ça donne (x-1/2)(ax²+bx+c) quand on développe ?

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:51

(x-1/2)(ax²+bx+c) =
ax3 +bx²+cx-1/2*ax -1/2*bx-1/2*c

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:55

ordonne le résultat suivant le puissances décroissantes et trouve les coefficient de x3, x²,x et constante

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 12:55

d'accord ^^

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:01

une erreur, -1/2 * ax² = -1/2*ax2

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:15

ducoup je remplace a,b et c par les coefficients de p(x) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:20

Citation :
ducoup je remplace a,b et c par les coefficients de p(x) ?

non tu égales les coefficients du produit développés avec ceux de p(x)
par exemple le coefficient de x² dans le produit c'est -a/2 + b
et donc tu vas pouvoir écrire que -a/2 + b = -7/2

on a déjà fait le coefficient de x3 qui a donné a = 5
maintenant tu vas pouvoir trouver b
et fais pareil avec le coefficient de x et le terme constant.

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:29

d'accord merci

Posté par
alb12
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:40

salut,
alternative
5x^3-7/2*x^2+1/4=5x^3-5/2*x^2-x^2+1/4=5x^2*(x-1/2)-(x^2-1/4)=...

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:45

=x3-1/4x-1/2x²-1/2*1/4

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:50

oui alb12 mais arriver à factoriser spontanément comme ça, c'est une démarche que très peu arrivent à faire en fait.

c'est presque plus facile de faire la division euclidienne de 5x3-7/2x²+1/4 par x-1/2 même si malheureusement ça n'est plus enseigné.

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:52

matheocanivez
qu'est ce que tu veux dire par "=x3-1/4x-1/2x²-1/2*1/4" ?
je ne comprends pas ce que tu fais.

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:54

"5x^3-7/2*x^2+1/4=5x^3-5/2*x^2-x^2+1/4=5x^2*(x-1/2)-(x^2-1/4)=... "

Posté par
matheocanivez
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 13:56

ah excusez moi je n'avais pas vu le moins 5x^2*(x-1/2)"-"(x^2-1/4)=

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonctions du polynômes avec une racine au cube 02-10-21 à 23:23

Alors si tu suis la méthode alb12, pourquoi pas, dis toi que
x^2-1/4 est de la forme a²-b² et peut donc être facotrisé.



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