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Fonctions et ensembles des réels
Bonjour, j'ai un exercice de mon DM de seconde sur les fonctions et je bloque a 1 question:
Exercice 1 :
Le tableau de variations suivant est celui d'une fonction f définie sur [0;7] :
1.Dessiner une courbe correspondant à ces données.
2.Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) >= 0 (décrire les étapes).
3.Quel est l'ensemble des réels k tels que l'équation f(x) = k ait une seul solution ? (justifier).
Personnellement j'ai réussi a faire la 1 et la 2 mais la 3 je bloque , si quelqu'un pouvait me guider ou m'expliquer, svp.
bonjour,
d'après ton tableau de variations, quel est le maximum et le minimum de ta fonction?
il faut ensuite que tu dises combien de fois, la fonction f admet de solutions pour f(x)=k
par exemple si j'avais pris k=-3, il y aurait qu'une seule solution pour x=2
pour k=-4, aucune solution parce que f(x)
-3
il faut ici travailler avec des intervalles.
Bonjour,
Le réel 2 est le maximum de la fonction f sur [0;7] et il n'est atteint que pour x = 5 .
L'équation f(x) = 2 a donc une unique solution qui est 5 .
Idem le minimum -3 .
Après, je ne sais pas ce que permet de justifier de plus un tableau de variations. Voir ton cours ou d'autres exemples, exercices déjà rencontrés.
Bonjour bbjhakan 
Sans continuité, ça ne me semble pas facile de conclure pour k entre -3 et 2 .
Je te laisse poursuivre car tu dois être plus au fait des usages en classe de seconde.
bonjour Sylvieg
il me semblait justement que les flèches du tableau de variations précisait la continuité de la fonction (en tout cas, c'est admis en seconde) d'où ma réponse.
Bonjour bbjhakan,
Les flèches du tableau indiquent simplement si la fonction est croissante ou décroissante.
Voici une courbe qui passe par tous les points qui te sont donnés dans ton tableau, mais qui pourtant ne suit pas tout à fait les indications de ton tableau.
D'où l'importance de la remarque de bbjhakan à 09:13, à avoir : quel est le maximum et le minimum de ta fonction ?
Bonjour,
si la fonction était discontinue en x = a, cette valeur devrait figurer dans le tableau de variations, sous forme de valeur interdite ou bien de limites à gauche et/ou à droite de a
comme rien ne figure d'autre dans ce tableau, on admettra forcément que la fonction est continue.
(on peut pinailler en disant que le tableau est peut être incomplet ou quoi, mais ça n'avancera à rien du tout pour faire l'exo : il serait alors impossible de conclure quoi que ce soit)
Bonjour bbjhakan,
Les flèches du tableau indiquent simplement si la fonction est croissante ou décroissante.
en effet, j'aurais plutôt dû dire que la continuité, n'étant pas au programme en seconde, on l'admet
D'après le tableau de variation, l'équation f(x) = 0 a au moins 2 solutions : 4 et 7 .
Pour la question 3), k = 0 ne convient donc pas.
Par contre, d'après mon premier message d'hier, 3 et -2 conviennent comme valeurs de k .
On peut s'aider du graphique du 1) pour trouver les valeurs de k qui conviennent :
Avec une règle parallèle à l'axe des abscisses (droite d'équation y = k ), regarder quand elle a un unique point commun avec la courbe.
Après, pour justifier, j'ai déjà écrit que je ne connais pas les conventions et exigences de la classe de seconde et de ton enseignant.
Ce n'est pas "f(x)=k doit n'avoir qu'une seule solution.",
mais "Quel est l'ensemble des réels k tel que f(x)=k n'ait qu'une seule solution".
ce n'est pas "à la fin".
la fin c'est l'intervalle de valeurs de k "pour que" ceci cela.
et rigoureusement rien d'autre.
un intervalle de valeurs de k. et c'est tout.
tu comprends l'expression française "pour que ceci/cela soit vrai" ??
on peut en douter ...
L'équation f(x) = 2 a donc une unique solution qui est 5 .
Idem le minimum -3 .
Si k = 2 ou si k = -3 l'équation f(x) = k a une unique solution.
Regarde s'il y a d'autres valeurs de k qui donnent aussi une unique solution pour l'équation f(x) = k .
Par exemple k=1 ne convient pas car l'équation f(x) = 1 a deux solutions, une entre 4 et 5 et l'autre entre 5 et 7 .
Par contre k=-1/2 convient car l'équation f(x) = -1/2 a une unique solution.
Il s'agit de trouver toutes les valeurs de k qui conviennent.
Désolé de repondre que maintenant, j'ai demandé a mon prof et il m'a dit :
en fait on te demande, selon les valeurs de k s'il y a des antécédents.....
Tu traces tes droites "horizontales" d'équations y=k et tu regardes le nombre de points.....rencontrant la courbe.
Tu EXPLIQUES la démarche en montrant "tes trais" de construction sur le graphique (ou le tableau) et tu réponds (sous forme d'intervalle....)!!!
Cela me rappelle quelque chose :
On peut s'aider du graphique du 1) pour trouver les valeurs de k qui conviennent :
Avec une règle parallèle à l'axe des abscisses (droite d'équation y = k ), regarder quand elle a un unique point commun avec la courbe.
Bref, graphiquement
Je veux bien qu'on réponde sous forme d'intervalle, mais 2 et -3 sont des valeurs isolées qui conviennent. Après il y a un intervalle qui ne contient pas 2 et -3 .
de façon générale :
intervalle ou réunion d'intervalles, ou d'intervalles et de valeurs isolées
tout à fait.
figure pour illustrer ce qu'on cherche
de toute façon :
f(2 u 5)=k
n'est pas un intervalle de valeurs de k, c'est un truc sans aucune signification.
ce qu'on cherche s'écrira :
k appartient à l'intervalle [a; b]
reste à calculer (euh ... lire sur le graphique) ces valeurs (numériques) de a et de b ...
qu'il y en ait un, deux ou une dizaine ne change rien, ça s'écrit
k appartient à l'intervalle [a; b]
ou k appartient à l'intervalle [c; d]
etc
ou k appartient à [a; b] U [c; d] ...
(réunion d'intervalles)
avec a,b,c,d ... qui sont des valeurs (numériques) lues sur le graphique
mais de toute façon c'est faux
c'est un seul intervalle et deux valeurs isolées
ce qui s'écrit :
k appartient à [a; b] U {c, d}
la réunion de l'intervalle [a; b] et des valeurs isolées c et d
(remarquer la notation avec des crochets pour les intervalles et des accolades pour les ensembles sous forme de listes d'éléments)
et pour compléter le dessin de Jedoniezh (et visualiser la solution de l'exo d'ailleurs)
.c'est un peu désolant car la solution est écrite sous tes yeux sur le graphique que je t'ai proposé.
reprenons au tout début de la question et de sa signification
tu sembles comprendre complètement de travers la question d'une part
et d'autre part ne pas savoir du tout ce qu'est un intervalle.
mais l'incompréhension de la phrase est bien plus grave que le manque de connaissances sur les conventions mathématiques d'écriture !!
question :
3.Quel est l'ensemble des réels k tels que l'équation f(x) = k ait une seul solution ? (justifier).
bien lire que on ne cherche pas des "solutions", fut ce "une seule solution"
on ne cherche pas des valeurs de x
on cherche des valeurs de k : Quel est l'ensemble des réels k
c'est à dire l'ensemble des valeurs de k telles que "quelque chose" soit vrai
mais peut être ne comprends tu pas le français et ce "telles que" est pour toi du pur chinois ??
je ne peux pas grand chose pour toi dans ce cas ...
ce n'est pas sur un forum d'aide de maths que tu trouveras de l'aide à la compréhension du français...
"l'équation f(x) = k ait une seul solution" n'est pas un problème à résoudre c'est une condition
et on veut trouver les valeurs de k pour que cette condition soit vraie
pour que l'équation n'aie qu'une seule solution
après cette analyse grammaticale (mais je suis encore persuadé que tu ne comprends pas la phrase, que tu ne sais pas ce que veut dire le conditionnel en français ni les constructions grammaticales qui l'emploient)
passons à la traduction mathématique de cela
que veut dire "f(x) = k a une seul solution" graphiquement ?
cela veut dire que la droite y = k coupe la courbe y = f(x) en un seul point
il y a une infinité de droites y = k, k étant un réel quelconque
ce sont toutes les droites horizontales à la "hauteur" (ordonnée) k
k se lit sur l'axe des ordonnées Oy
c'est le point sur l'axe des ordonnées où la droite coupe cet axe.
des droites comme ça (horizontales), pour la question posée, il y en a de toutes sortes :
il y en a qui ne coupent pas du tout la courbe. comme par exemple la droite y = 3.
celle pour laquelle k = 3, et qui coupe l'axe des ordonnées en y = 3
celles là ne conviennent pas
la valeur 3 de k ne convient pas
3 ne fait pas partie de l'ensemble des valeurs de k cherché
il y en a qui coupent franchement la courbe en 2 points
cela veut dire que l'équation f(x) = k possède deux solutions pour cette valeur de k
par exemple k = 1.5
la droite y = 1.5 coupe la courbe en deux points
l'un quelque part entre l'abscisse x = 4 et x = 5
l'autre quelque part entre l'abscisse x = 5 et l'abscisse x = 7
mais ces abscisses on s'en fiche
la seule chose qu compte est le nombre de solutions
qu'il y a pour cette valeur de k deux solutions
cette valeur de k = 1.5 ne convient donc pas non plus
1.5 ne fait pas non plus partie de l'ensemble des valeurs de k cherché
il y en a pour lesquelles la droite coupe la courbe en un seul point
par exemple k = 0.5
qui ne coupe la courbe que en un seul point, quelque part entre l'abscisse x = 2 et x = 4
là aussi, on s'en fiche de ces valeurs de x
la seul chose qui importe est que pour cette valeur de k, il n'y a qu'un seul point, une seule solution.
la valeur de k = 0.5 convient
0.5 fait partie des l'ensemble cherché
il y en a qui sont un peu "exceptionnelles" car elles ne "coupent" la courbe que en un seul point, mais de façon différente :
elles ne coupent pas la courbe, elle ne font que la toucher.
la droite y = -3 est une telle droite
elle "coupe" (touche) la courbe en le seul point x=2 y = -3
pour cette valeur de k = -3 aussi l'équation f(x) = k n'a qu'une seule solution
(et là on la connait même exactement, c'est x = 2)
mais encore une fois la valeur de x = 2 elle même on s'en fiche
la seule chose qui compte est qu'il n'y en a qu'une seule, de solution.
la valeur de k = -3 convient
-3 fait partie de l'ensemble cherché
arrivé à ce stade du raisonnement on a pratiquement résolu (= compris) la question !
regarder sur mon graphique l'ensemble de toutes les valeurs de k qui conviennent :
c'est l'ensemble de toutes les ordonnées des points peints en vert sur mon graphique.
on décrit cet ensemble "mathématiquement" comme la réunion d'un certain intervalle (de valeurs de k comprises entre deux bornes) et de deux points "isolés" (les gros points verts)
terminé. il n'y a plus qu'à écrire (proprement) cette réponse.
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