Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonctions et suites
Salut ! j'ai un problème sur un exercice , sur les suites
et les fonctions , qui m'est impossible de résoudre . Voici
l'énoncé de ce dernier :
On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur [0;+ 
[ vérifiant la condition :
(1) _ pour tout x appartient à [0;+ [ ,
f(x)f '(x)=1
_ f(0)=1
Questions:
On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement
strictement positive sur [0;+ [ .
1. Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule
pas sur [0;+ [.
2. On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il
existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0.
En déduire que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans
l'intervalle [0;a] .
3. Conclure .
J'espère que tu pourras m'aider à résoudre ces questions car elles ne
sont juste que la première partie du problème . Merci d'avance
!
Bonjour,
je ne sais pas à qui tu t'adresses quand tu dis "J'espère
que tu pourras m'aider" mais bon... 
1.
Pour tout x, f(x)*f'(x)=1 donc f(x) et f'(x) sont différents
de 0 quel que soit x positif. (sinon le produit serait nul pour cette
valeur)
2. Si il existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0.
Comme la fonction est dérivable (donc continue) et que f(0)=1 > 0.
Il existe donc une valeur tel que f(x)=0.
Sans être rigoureux, la courbe représentative doit forcément couper l'axe
des abscisses pour passer d'une valeur positive à une valeur
négative et cette valeur appartient à l'intervalle [0;a] .
3. D'après le 1, f(x) est différent de 0, donc par un raisonnement
par l'absurde, on peut donc en déduire qu'il n'existe
pas de valeur a tel que f(a) < 0 donc f est strictement positive.
@+
Annuler
connectez vous